Question

20．如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘小船直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船所受到水的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v，小船从A点沿直线运动到B点经历时间为t，此时缆绳与水平面夹角为θ，A、B两点间水平距离为d，缆绳质量忽略不计．则小船经过B点时的速度大小为$\sqrt{{v^2}+2（Pt-fd）/m}$，小船经过B点时的加速度大小为$\frac{P}{{\sqrt{{m^2}{v^2}+2m（Pt-fd）}}}-\frac{f}{m}$．

Answer 1

分析 （1）根据功的表达式求出阻力所做的功；根据动能定理求出小船经过B点时的速度．
（2）设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，绳的速度大小为u，根据牛顿第二定律、功率P=Fu，以及小船速度与绳子收缩速度的关系求出B点的加速度．

解答 解：（1）小船从A点运动到B点克服阻力做功W_f=fd①
小船从A点运动到B点，电动机牵引绳对小船做功W=Pt ②
由动能定理有  W-W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv² ③
由①②③式解得  v₁=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2（Pt-fd）}{m}}$ ④
（2）设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，绳的速度大小为u，

P=Fu ⑤
u=v₁cosθ⑥
牛顿第二定律 Fcosθ-f=ma⑦
由④⑤⑥⑦得a=$\frac{P}{{\sqrt{{m^2}{v^2}+2m（Pt-fd）}}}-\frac{f}{m}$
故答案为：$\sqrt{{v^2}+2（Pt-fd）/m}$；$\frac{P}{{\sqrt{{m^2}{v^2}+2m（Pt-fd）}}}-\frac{f}{m}$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律等知识，综合性较强，对学生能力要求较高，尤其第三问要运用到速度的分解．