Question

6．如图所示，固定不动的足够长斜面倾角θ=37°，一个物体以v₀=10m/s的初速度从斜面A点处开始自行沿斜面向上运动，加速度大小为a₁=10m/s²．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）物体沿斜面上升的最大距离；
（2）物体与斜面间动摩擦因数；
（3）若要通过调整物体的初速度使物体能够在（2+2$\sqrt{5}$）s≤t≤（4+4$\sqrt{5}$）s时间内返回A位置，求物体初速度的范围．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出物体沿斜面上滑的最大距离．
（2）根据牛顿第二定律，结合沿斜面方向上产生加速度，垂直斜面方向上合力为零，求出动摩擦因数的大小．
（3）根据匀变速直线运动基本公式求出上滑和下滑的时间与初速度之间的关系，再根据时间范围求解初速度范围．

解答 解：（1）由运动学公式得：
$x=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$=$\frac{100}{20}=5m$
（2）由牛顿第二定律得有：
沿斜面方向上：mgsinθ+f=ma…①
垂直斜面方向上：mgcosθ-N=0…②
又：f=μN…③
由①②③得：μ=0.5      
（3）物体上滑的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{{v}_{0}}{10}$，上滑的位移${x}_{\;}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}$，
下滑时的加速度${a}_{2}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}=2m/{s}^{2}$，
根据x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$得：
下滑的时间${t}_{2}={v}_{0}\sqrt{\frac{1}{2{a}_{1}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}{v}_{0}$
则总时间t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{{v}_{0}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{10}{v}_{0}$
而（2+2$\sqrt{5}$）s≤t≤（4+4$\sqrt{5}$）s
则物体初速度的范围为20m/s≤v₀≤40m/s                      
答：（1）物体沿斜面上升的最大距离为5m；
（2）物体与斜面间动摩擦因数为0.5；
（3）若要通过调整物体的初速度使物体能够在（2+2$\sqrt{5}$）s≤t≤（4+4$\sqrt{5}$）s时间内返回A位置，则物体初速度的范围为为20m/s≤v₀≤40m/s．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．