Question

14．如图所示，在x轴上方有匀强磁场B，在x轴下方有匀强电场E，方向如图所示，PQ是一个垂直于x轴的屏幕，PQ到O点的距离为L，有一质量为m，电量为-q的粒子（不计重力），从y轴到M点由静止释放，最后垂直打在PQ上，求：
（1）M点的y坐标；
（2）粒子在整个运动过程中的路程s．

Answer 1

分析 1．要使粒子从静止开始能最后垂直打在PQ上，其初始位置必须在匀强电场区域里，由电场加速获得速度才能到达P点．题中P点的位置未知，分情况进行讨论：
若粒子从y轴上由静止释放，则粒子先加速后磁场偏转，由几何知识得到磁场中圆周运动的半径与OP距离间的关系：L=2nR-R （n=1，2，3，…）．分别根据动能定理和牛顿第二定律求解电场加速粒子获得的速度、磁场中轨迹半径表达式，即可求出初始坐标满足的条件；
2．粒子的总路程包括电场中的路程和磁场中的路程，求出两场中的过程即可求出总路程．

解答 解：（1）由题意，要使粒子从静止开始运动，能最后垂直打在PQ上，则粒子在磁场中运动的时间可能是$\frac{1}{4}$周期，或n+$\frac{1}{4}$周期，由几何知识得到磁场中圆周运动的半径与OP距离间的关系：
L=2nR-R （n=1，2，3，…）．
由题意知第n次进入磁场中运动的轨迹如图所示

设粒子初速度为v，则有：qvB=m $\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\frac{qBR}{m}$；
设粒子进入电场做加速运动的最大路程为y，加速度为a，则有：
v²=2ay′
qE=ma
则电场中的路程：y=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mE}$=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）^{2}}$（n=1，2，3，…）．
（2）第n次进入磁场中运动，在电场中的路程为（2n-1）y，在磁场中的路程为：$\frac{n-1}{2}•2πR+\frac{1}{4}•2πR$
粒子运动的总路程：s=$（2n-1）y+\frac{n-1}{2}•2πR+\frac{1}{4}•2πR$=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）}+\frac{πL}{2}$（n=1，2，3，…）；
答：（1）M点的纵坐标是$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）^{2}}$（n=1，2，3，…）；
（2）粒子在整个运动过程中的路程是$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）}+\frac{πL}{2}$（n=1，2，3，…）．

点评 带电粒子在磁场中的题目关键在于明确圆心和半径，注意要根据题意找出合理的运动过程，从而得出正确的结论．