Question

15．如图所示，倾角为θ=37°的固定斜面与足够长的水平面平滑对接，一劲度系数k=18N/m的轻质弹簧的上端固定于斜面顶端，另一端固连在一质量m=1kg的光滑小球A，跟A紧靠的物块B（质量也为m）与斜面间的动摩擦因数μ₁=0.75，且最大摩擦力等于滑动摩擦力，与水平面间的动摩擦因数μ₂=0.1，图中施加在B上的力F=18N，方向沿斜面向上，A和B均处于静止状态，且斜面对B恰无摩擦力，当搬除力F后，A和B一起沿下面下滑到某处时分离，分离后A一直在斜面上运动，B继续沿斜面下滑，已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）A和B分离后A能否再回到出发点？请简述理由．
（2）A和B分离时B的速度为多大？
（3）求B最终停留的位置．

Answer 1

分析 （1）A不能回到出发点，因为小球与物块一起下滑过程，物体对小球的弹力做负功而使小球的机械能减少
（2）当AB分离时，AB具有相同的加速度与速度，根据牛顿第二定律求的弹簧的伸长量，在利用动能定理求的速度
（3）对B利用动能定理即可求的位移

解答 解（1）A不能回到出发点，因为小球与物块一起下滑过程，物体对小球的弹力做负功而使小球和弹簧的机械能减少
（2）未撤去力F时，对A和B整体，根据平衡条件得：
2mgsinθ+F₁=F
其中弹力为：F₁=kx₁
解得弹簧的压缩量为：x₁=$\frac{1}{3}m$
分离时，AB之间无弹力作用，但速度和加速度相等，根据牛顿第二定律，
对B：mgsinθ-f=ma_B
其中f=μ₁mgcosθ
联立解得a_B=0
对A：mgsinθ-F₂=ma_A，
其中弹力F₂=kx₂
由a_A=a_B=0，解得分离时弹簧的伸长量为：
x₂=$\frac{1}{3}$m
可见x₁=x₂，AB整体运动到分离弹簧的弹力做功为零，根据动能定理有：
2mg•sin$θ（{x}_{1}+{x}_{2}）-f（{x}_{1}+{x}_{2}）=\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
带入数据解得：v=$\frac{3g}{5}\sqrt{\frac{2m}{k}}=\frac{3×10}{5}×\sqrt{\frac{2×1}{18}}m=2m$/s

（3）分离后由动能定理得：$-{μ}_{2}mgx=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：x=2m
答：（1）A不能回到出发点，因为小球与物块一起下滑过程，物体对小球的弹力做负功而使小球的机械能减少
（2）A和B分离时B的速度为2m/s
（3）B最终停留的位置为2m．

点评 本题要抓住临界状态，分析临界条件，即小球与挡板刚分离时，B对小球的作用力为零，这也是两物体刚分离时常用到的临界条件