Question

3．如图所示，a、b、c、d分别是四根半径都为R、表面光滑的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4；在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里，整个空间为真空．质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从A点由静止经电压为U的电场加速后，沿与a、b都相切的方向由缝1射入磁场，恰好能从缝2沿与b、c都相切的方向射出．设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞后粒子的速度大小不变，方向相反，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，不计粒子的重力．求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小．
（2）匀强磁场的磁感应强度大小．

Answer 1

分析 （1）运用动能定理求解粒子在加速电场中射出的速度，即粒子进入磁场时的速度大小；
（2）根据粒子与圆柱表面只发生一次碰撞就直接从缝2沿与b、c都相切的方向射出，利用对称性可知粒子需要与d的柱面相碰于缝3、4间圆弧的中点，利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，即可求出磁感应强度B．

解答 解：（1）设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²…①
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）设匀强磁场的磁感应强度大小为B₀，在图中纸面内建立xoy坐标系如图所示，

原点O在狭缝1处，x轴过缝1和缝3，
根据题目要求和对称性可知，粒子在磁场中做圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间圆弧的中点，
设其坐标为x、y，则：
x=2R-Rsin45°…②
y=R-Rcos45°…③
设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为r，则由几何关系得：
x²+（r-y）²=r²…④
由牛顿第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑤
联立①②③④⑤式，解得：B=$\frac{1}{3R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
答：（1）粒子进入磁场时的速度大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小为$\frac{1}{3R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题的关键是要明确粒子的受力情况，分析其运动形式，选择合适的规律解题；要求大家熟练掌握洛伦兹力提供向心力结合几何关系的解题思路．