Question

17．地球半径为R，自转的角速度为ω，地表重力加速度为g．现在要发射一颗质量为m的人造卫星，请你担当该项目的工程师，计算有关发射该卫星的重要数据．（提供信息：以地面为0势能参考面，物体所具有重力势能的数学表达式为E_p=GMm（$\frac{1}{R}$-$\frac{1}{R+h}$），其中h是物体距离地面的高度．）
（1）计算在什么位置，卫星的机械能最小；
（2）在考虑地球自转的情况下，要完成发射任务，我们给卫星的最小发射能量是多少？（注意：E_p、M、h不作为已知量）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于向心力列式求解，求出在h高处的速度，再求出在h高处的机械能的表达式进行讨论；
（3）在考虑地球自转的情况下结合第一宇宙速度求解．

解答 解：（1）假设卫星在h高处的机械能最小，由万有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
则卫星在h高处的动能为：E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GMm}{2（R+h）}$，
卫星在h高处的机械能为：E=E_K+E_P=$\frac{GMm}{2（R+h）}$+$GMm（\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}）$=$\frac{GMm}{R}$-$\frac{GMm}{R+h}$
由结果分析可知，当在地球的表面上，即h=0时，机械能有最小值；
（2）在地球表面上发射卫星速度至少要达到第一宇宙速度，即：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
如果考虑地球的自转，即发射前卫星随地球自转，已经有速度为ωR，
则在地球表面上发射卫星至少需要的能量为：
E_min=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m（ωR）²=$\frac{GMm}{2R}$-$\frac{{mω}^{2}{R}^{2}}{2}$
由黄金代换GM=gR²
解得：E_min=$\frac{1}{2}$mgR-$\frac{{mω}^{2}{R}^{2}}{2}$
答：（1）当在地球的表面上，即h=0时，卫星的机械能最小；
（2）在考虑地球自转的情况下，要完成发射任务，我们给卫星的最小发射能量为解得：$\frac{1}{2}$mgR-$\frac{{mω}^{2}{R}^{2}}{2}$．

点评 本题关键是明确卫星的运动情况、受力情况和能量转化情况，结合牛顿第二定律和能量守恒定律列式求解，知道第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度．