Question

3．如图所示，通过一个定滑轮用轻绳两端各栓接质量均为m的物体A、B（视为质点），其中连接物体A的轻绳水平（绳足够长），物体A的下边放一个足够长的水平传送带，其顺时针转动的速度恒定为v，物体A与传送带之间的动摩擦因数为0.25；现将物体A以2v₀速度从左端MN的标志线冲上传送带，重力加速度为g．试回答：

（1）若传送带的速度v=v₀时，物体A运动到距左端MN标志线的最远距离？
（2）若传送带的速度取（0＜v＜2v₀）范围某一确定值时，可使物体A运动到距左端MN标志线的距离最远时，与传送带因摩擦产生的内能最小，求：此时传送带的速度v=？；摩擦产生的内能的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）若传送带的速度v=v₀时，物体A的速度大于传送带的速度，受到的摩擦力的方向向左，同时受到向左的拉力，对A和B，分别运用牛顿第二定律列式，即可求出加速度．加速度a₁向右做匀减速运动，直到速度减为v，接着以加速度a₂向右做匀减速运动，直到速度减为0，最后又向左做加速运动．根据牛顿第二定律和运动学公式求解即可；B的位移大小与A的位移大小相等．
（2）根据运动学公式得到物体A与传送带相对位移的大小与v的关系，从而得到摩擦产生的内能与v的关系式，由数学知识求解内能最小时v的值，并求内能的最小值．

解答 解：（1）若传送带的速度v=v₀时，设物体A向右减速到v₀时的加速度为a₁，由牛顿第二定律
对物体A有：T+μmg=ma₁； 
 对物体B有：mg-T=ma₁
解得加速度的大小：a₁=$\frac{5}{8}$g  
物体A向右减速到v₀时的位移为x₁，由运动学公式有：
   v₀²-（2v₀）²=-2a₁x₁；     
得：x₁=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{5g}$
当物体的速度小于v₀时，物体A受的摩擦力向右，设加速度为a₂，由牛顿定律得：
对物体A、B整体，加速度的大小：mg-μmg=2ma₂；
解得加速度的大小：a₂=$\frac{3}{8}$g
物体A向右由v₀减速到零时的位移为x₂，由运动学公式有：
0-v₀²=-2a₂x₂；
得：x₂=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3g}$
物体A运动到距左端MN标志线的最远距离为：x=x₁+x₂=$\frac{56{v}_{0}^{2}}{15g}$
（2）物体A向右减速到v时的时间为：t=$\frac{v-2{v}_{0}}{-{a}_{1}}$
物体A向右减速到v₀时相对传送带向前的位移为△x₁，由运动学公式有：
△x₁=$\frac{（2{v}_{0}）^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$-vt=$\frac{4（{v}^{2}-4{v}_{0}v+4{v}_{0}^{2}）}{5g}$
物体A向右由v减速到零时，相对传送带向后的位移为△x₂，由运动学公式有：
△x₂=v（$\frac{v-0}{{a}_{2}}$）-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{4{v}^{2}}{3g}$
物体A与传送带因摩擦产生的内能为：
  Q=μmg（△x₁+△x₂）=$\frac{4}{15}m（2{v}^{2}-3{v}_{0}v+3{v}_{0}^{2}）$    
对二次函数求极值得：当v=$\frac{3}{4}{v}_{0}$时，产生的内能最小为：${Q_{min}}=\frac{3}{20}mv_0^2$
答：（1）若传送带的速度v=v₀时，物体A运动到距左端MN标志线的最远距离是$\frac{56{v}_{0}^{2}}{15g}$．
（2）当v=$\frac{3}{4}{v}_{0}$时，产生的内能最小，为$\frac{3}{20}m{v}_{0}^{2}$．

点评 本题的关键要分析清楚物体在传送带上的运动过程，特别注意摩擦力方向的改变，运用函数法求内能的最小值是常用的方法，要能熟练运用．