Question

5．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h=1.6m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要多长；
（2）若斜面已经满足（1）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer 1

分析 （1）要使物体不飞出，则到达A点时速度恰为零，则由动能定理可求得AB的长度；
（2）由于摩擦力小于重力的分力，则物体不会停在斜面上，故最后物体将稳定在C为中心的圆形轨道上做往返运动，由功能关系可求得热量Q．

解答 解：（1）从E～D～C～B～A过程，由动能定理得：
W_G-W_f=0                           
W_G=mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]
W_f=μmgcos37°LAB                  
联立以上三式解得：
斜面长度至少为：L_AB=2.4m       
（3）因为mgsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物体不会停在斜面上．物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动．
从E点开始直至稳定，系统因摩擦所产生的热量
Q=△E_P                         
△E_P=mg（h+Rcos37°）    
解得Q=4.8J   
在运动过程中产生热量为4.8J．
答：（1）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少为2.4m；
（2）若斜面已经满足（1）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小为4.8J．

点评 在考查力学问题时，常常将动能定理、机械能守恒及牛顿第二定律等综合在一起进行考查，并且常常综合平抛、圆周运动及匀变速直线运动等运动的形式．