Question

5．火星是太阳系中最类似地球的行星，人类为了探索火星的奥秘已经向这颗红色星球发送了许多探测器，其中有的已经登陆火星表面，有的围绕火星飞行，已知一绕火星做匀速圆周运动的探测器轨道半径为r，周期为T，若将火星视为质量分布均匀，半径为R的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G，求：
（1）火星的质量M；
（2）火星表面的重力加速度g；
（3）火星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力求出火星质量
（2）根据重力等于万有引力求出火星表面的重力加速度
（3）火星的第一宇宙速度即火星的近地卫星的运行速度

解答 解：（1）设火星的质量为M，探测器的质量为m，根据绕火星做匀速圆周运动，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$①
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）设在火星表面上有质量为${m}_{1}^{\;}$的物体，有：
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}g$②
由①②可得$g=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
（3）设质量为${m}_{2}^{\;}$的卫星以第一宇宙速度绕火星做匀速圆周运动，有：
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$③
由①③式可得：$v=\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）火星的质量M为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速度g为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$；
（3）火星的第一宇宙速度v为$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．