Question

10．如图所示，光滑的水平导轨AB，与半径为R=0.4m的光滑半圆轨道BCD相切于B点，水平轨道部分存在水平向右的场强为E=1.0×10⁴N/C的匀强电场，半圆形轨道在竖直平面内，B点为最低点，D为最高点．一质量为m=1kg带正电荷量q=+8.0×10-4C的小球从距B点距离为x的某点在电场力的作用下由静止开始沿AB向右运动，恰能通过最高点D，（g取10m/s²）则：
（1）小球运动到圆形轨道B点时对轨道的压力；
（2）小球开始运动时距B点的距离x．

Answer 1

分析 （1）根据小球恰好能能通过最高点求得小球在D点的速度速度，再根据动能定理得小球在B点的速度，根据牛顿第二定律求得小球对轨道的压力；
（2）根据动能定理求得小球开始运动时距B点的水平距离x．

解答 解：（1）小球恰好能通过最高点点D，则有在D点时满足：
$mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得  ${v}_{D}^{\;}=\sqrt{gR}$  ①
小球从B点到D点只有重力做功，根据动能定理有：
$-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ ②
根据牛顿第二定律知，在B点有：
${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$③
由①②③解得F_N=6mg=60N
由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力也为60N；
（2）小球释放到运动到D点只有电场力和重力做功，根据动能定理有：
$qEx-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-0$
代入①解得x=$\frac{5mgR}{2qE}$=$\frac{5×10×0.4}{2×8×1{0}_{\;}^{-4}×1×1{0}_{\;}^{4}}=1.25m$
答：（1）小球通过B点开始做圆周运动时对轨道的压力为6mg；
（2）小球开始运动时距B点的距离x为1.25m．

点评 动能定理与向心力知识综合是常见的题型．小球恰好通过最高点时速度与轻绳模型类似，轨道对小球恰好没有作用力，由重力提供向心力，临界速度v=$\sqrt{gR}$．