Question

2．已知月球质量是地球质量的$\frac{1}{81}$，月球半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，分别在地球和月球上做同一实验：将一根内壁光滑的圆轨道竖直放置，如图所示，A与圆心在同一水平面内，一小钢球被一弹簧枪从A处贴着轨道射入，第一种情况使钢球恰能到达最高点B点；第二种情使钢球经B飞出后，恰好落回距离A点为半径r 的C点，且C、A、O三点在同一直线上，求：
（1）第一种情况，在月球和地球上恰过B点的速度之比．
（2）第二种情况下，在月球和地球上经过B点时对轨道压力的比值．

Answer 1

分析 （1）恰好过圆周的最高点，在最高点重力提供向心力，结合黄金代换式，联立方程即可求解
（2）根据平抛运动的规律求出最高点的速度，再根据牛顿第二定律求经过B点时对轨道的压力

解答 解：（1）恰好过B点，有$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得$v=\sqrt{gr}$①
根据重力等于万有引力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$②
联立①②得：$v=\sqrt{\frac{GMr}{{R}_{\;}^{2}}}$
代入数据：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G\frac{1}{81}{M}_{地}^{\;}r}{（\frac{1}{4}{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{2}}}=\frac{4}{9}\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}r}{{R}_{地}^{2}}}=\frac{4}{9}{v}_{2}^{\;}$
所以：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{4}{9}$
（2）由平抛知识可知
水平方向：2r=vt
竖直方向：$r=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
即$v=\sqrt{2gr}$
由圆周运动${F}_{N}^{\;}+mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
则${F}_{N}^{\;}=3mg$
$\frac{{F}_{N1}^{\;}}{{F}_{N2}^{\;}}=\frac{{g}_{1}^{\;}}{{g}_{2}^{\;}}=\frac{16}{81}$：
答：（1）第一种情况，在月球和地球上恰过B点的速度之比为$\frac{4}{9}$．
（2）第二种情况下，在月球和地球上经过B点时对轨道压力的比值为$\frac{16}{81}$．

点评 本题综合考查了向心力、万有引力定律、平抛运动、牛顿第二定律等知识点，关键是物理情景要理清，再选择合适的规律，注意知识的综合能力．