Question

12．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g．
（1）不考虑地球自转的影响，取R=6400km，g=10m/s²，π=3.14，估算近地卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T；
（2）若地球自转周期为T₀，推导地球同步卫星运行轨道离地面高度h的表达式．

Answer 1

分析 （1）依据重力提供向心力，结合线速度与周期的关系，即可求解；
（2）根据引力提供向心力，结合黄金代换公式，即可求解．

解答 解：（1）近地卫星重力提供向心力：$mg=m\frac{v^2}{R}$
根据速度与周期的关系得：$v=\frac{2πR}{T}$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{R}{g}}=5024$s            
（2）设同步卫星的质量为m′，地球的质量为M，万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm'}{{{{（R+h）}^2}}}=m'{（\frac{2π}{{{T_0}^{\;}}}）^2}（R+h）$
质量为m的物体，在地面附近的万有引力近似等于重力，有：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
故同步卫星的高度 为：$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T_0}^2}}{{4{π^2}}}}}-R$
答：（1）近地卫星绕地球做匀速圆周运动的周期5024s；
（2）地球同步卫星运行轨道离地面高度h的表达式$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 考查引力与向心力表达式，掌握牛顿第二定律的内容，理解黄金代换公式的作用，同时注意符号的正确运算．