Question

14．如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S₁、S₂，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U₀，周期为T₀．在t=0时刻将一个质量为m、电量为-q（q＞0）的粒子由S₁静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t=$\frac{T_0}{2}$时刻通过S₂垂直于边界进入右侧磁场区．（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）

（1）求粒子到达S₂时的速度大小v和极板距离d．
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T₀时刻第二次到达S₂，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，电场力做功等于粒子动能的增加；
（2）使粒子不与极板相撞，则运动的半径大于$\frac{L}{4}$；
（3）粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，则从s₁再次进入电场时的时刻是$\frac{5{T}_{0}}{2}$，粒子从左向右应是水平匀速穿过无场区，距离为d，根据匀速运动的规律求得时间，粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；然后根据洛伦兹力提供向心力，即可求得磁感应强度．

解答 解：（1）粒子在电场中运动，由动能定理得：
$q{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$，解得，粒子速度：$v=\sqrt{\frac{{2q{U_0}}}{m}}$，
由匀变速运动规律：$d=\frac{v}{2}•\frac{T_0}{2}$，
整理得：$d=\frac{T_0}{4}\sqrt{\frac{{2q{U_0}}}{m}}$；
（2）使粒子不与极板相撞，由几何关系得：$r＞\frac{l}{2}$，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
 $qvB=m\frac{v^2}{r}$，整理解得：$B＜\frac{2}{l}\sqrt{\frac{{2m{U_0}}}{q}}$；
（3）根据粒子第二次到达S₂速度恰好为零，
由运动的可逆性可知粒子第二次经S₁到S₂用时为：$\frac{T_0}{2}$，
粒子由右向左通过无场区用时：$t=\frac{d}{v}=\frac{T_0}{4}$，
综上，粒子在磁场中运动的时间：$T=3{T_0}-\frac{T_0}{2}-\frac{T_0}{2}-t=\frac{{7{T_0}}}{4}$，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
整理解得：$B=\frac{8πm}{{7q{T_0}}}$；
答：（1）子到达S₂时的速度大小v为$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，极板距离d为$\frac{{T}_{0}}{4}$$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．
（2）为使粒子不与极板相撞，磁感应强度的大小应满足的条件是：$B＜\frac{2}{l}\sqrt{\frac{{2m{U_0}}}{q}}$．
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T₀时刻第二次到达S₂，且速度恰好为零，该过程中粒子在磁场内运动的时间为：$\frac{7{T}_{0}}{4}$，磁感应强度的大小为$\frac{8πm}{7q{T}_{0}}$．

点评 该题中粒子在左右磁场中的时间是相等的，在电场中加速和减速的时间也是相等的，是这解题的关键．该题解题的过程复杂，公式较多，容易在解题的过程中出现错误．属于难度大的题目．