Question

3．如图甲所示的控制电子运动装置由偏转电场、偏转磁场组成．偏转电场处在加有电压U、相距为d的两块水平平行放置的导体板之间，匀强磁场水平宽度一定，竖直长度足够大，其紧靠偏转电场的右边．大量电子以相同初速度连续不断地沿两板正中间虚线的方向向右射入导体板之间．当两板间没有加电压时，这些电子通过两板之间的时间为2t₀；当两板间加上图乙所示的电压U时，所有电子均能通过电场、穿过磁场，最后打在竖直放置的荧光屏上．已知电子的质量为m、电荷量为e，不计电子的重力及电子间的相互作用，电压U的最大值为U₀，磁场的磁感应强度大小为B、方向水平且垂直纸面向里．
（1）如果电子在t=t₀时刻进入两板间，求它离开偏转电场时竖直分速度的大小；
（2）要使电子在t=0时刻进入电场并能最终垂直打在荧光屏上，求匀强磁场的水平宽度．
（3）试分析匀强磁场的水平宽度在满足第（2）问情况下其他时刻进入的电子，能否最终垂直打在荧光屏上？若能，说明你的理由并求出电子能打到荧光屏的宽度；若不能，也说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出加速度，然后由速度公式求出竖直分速度．
（2）根据几何关系求出粒子做圆周运动的轨道半径，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁场的水平宽度．
（3）电子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出电子的最大与最小偏移量，然后求出电子能打到荧光屏的宽度．

解答 解：（1）电子在t=t₀时刻进入两板间，先做匀速运动，
后做类平抛运动，在2t₀～3t₀时间内发生偏转，
加速度：a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，竖直分速度：v_y=at=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$；
（2）电子在t=0时刻进入两板间，设电子从电场中射出的偏向角为θ，
速度为v，则：sinθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{mdv}$，
电子通过匀强磁场并能垂直打在荧光屏上，其圆周运动的半径为R，
根据牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由几何关系得：sinθ=$\frac{l}{R}$，
解得，水平宽度：l=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{Bd}$；
（3）这些电子通过两板之间的时间为2t₀则在0～2t₀时刻进入电场的电子都是匀速运动和类平抛运动交替进行，
且匀速运动时间和类平抛运动都是t₀．则电子从电场中射出的偏向角都是θ．易得任意时刻进入的电子，
最终都垂直打在荧光屏上．即电子在磁场中的运动轨迹彼此平行，射出电场的宽度就是打在荧光屏的宽度．
电子在t=t₀时刻进入两板间，先做匀速运动，后做类平抛运动，在2t₀～3t₀时间内发生偏转，偏转最小．
由牛顿第二定律得：a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，y_min=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$，
电子在t=0时刻进入两板间，先做类平抛运动，后做匀速运动，在0～2t₀时间内发生偏转，偏转最大．
a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$，
类平抛速度反向延长沿线过水平位移中点，则：$\frac{y}{{y}_{max}}$=$\frac{1}{3}$，y_max=$\frac{3e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$，
解得，荧光宽度：△y=y_max-y_min=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$；
答：（1）如果电子在t=t₀时刻进入两板间，它离开偏转电场时竖直分速度的大小为$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$；
（2）要使电子在t=0时刻进入电场并能最终垂直打在荧光屏上，匀强磁场的水平宽度为：$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{Bd}$；
（3）匀强磁场的水平宽度在满足第（2）问情况下其他时刻进入的电子，最终能垂直打在荧光屏上，电子能打到荧光屏的宽度是：$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$．

点评 本题电子先电场中运动，后在磁场中运动的问题，电场中研究是运动的合成与分解，运用牛顿定律和运动公式分析求解．电子在磁场中运动的问题关键是画轨迹，定圆心角．会用运动的合成与分解处理类平抛运动问题，根据物体运动的受力情况，确定粒子运动性质，确定物体运动的轨迹并能根据几何关系求解．