Question

14．如图所示，水平虚线L₁、L₂之间是匀强磁场，磁场区竖直宽度为h，磁场方向水平向里．竖直平面内有一等腰梯形导线框，底边水平，其上下边长之比为5：1，高为2h．现使线框AB边在磁场边界L₁的上方h高处由静止自由下落，当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC边刚要进入磁场前的一小段时间内，线框做匀速运动．重力加速度为g．
（1）如果已知磁感应强度为B，导线框电阻为R，AB长为l，求线框的质量；
（2）求在DC边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度大小与AB边刚进入磁场时的速度大小之比；
（3）求DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒求出AB刚进入磁场时的速度，根据AB刚进入磁场时加速度恰好为0，由平衡条件求出线框的质量．
（2）在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，此时线框有效切割长度为2l，由平衡条件得到重力与安培力的关系式，将两个重力与安培力的关系式进行对比，求出DC边刚进入磁场前线框匀速运动时的速度．然后求出速度之比．
（3）DC边刚进入磁场瞬间，线框有效切割的长度为3l，推导出安培力表达式，由牛顿第二定律求出加速度．

解答 解：（1）设AB边刚进入磁场时速度为v₀，线框质量为m、电阻为R，
设AB=l，已知AB与CD之比为：5：1，则CD=5l，
从线框开始运动到AB边进入磁场过程，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²，
AB刚进入磁场时加速度为零，则线框所受合力为零，
由平衡条件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$=mg，解得：m=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2gh}}{gR}$，v₀=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）DC边刚进入磁场前匀速运动时速度为v₁，线框切割磁感应线的有效长度为2l，感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{B（{L}_{上}-{L}_{下}）{v}_{1}△t}{△t}$=2Blv₁，
框匀速运动时，处于平衡状态，由平衡条件得：$\frac{{B}^{2}（2l）^{2}{v}_{1}}{R}$=mg，
解得：v₁=$\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$，则：速度之比：v₁：v₀=1：4；
（3）CD刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为3l，
感应电动势：E_感′=B•3l•v₁ ，安培力：F₁=BI₁•3l=$\frac{{B}^{2}（3l）^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{9}{4}$mg，
由牛顿第二定律得：F₁-mg=ma，解得：a=$\frac{5}{4}$g；
答：（1）如果已知磁感应强度为B，导线框电阻为R，AB长为l，线框的质量为=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2gh}}{gR}$；
（2）在DC边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度大小与AB边刚进入磁场时的速度大小之比为1：4；
（3）求DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为$\frac{5}{4}$g．

点评 本题要研究物体多个状态，再找它们的关系，关键要写出线框有效的切割长度，即与速度方向垂直的导体等效长度．