Question

3．如图所示，在方向竖直向上、大小为E=1×10⁶V/m的匀强电场中，固定一个穿有A、B两个小球（均视为质点）的光滑绝缘圆环，圆环在竖直平面内，圆心为O、半径为R=0.2m．A、B用一根绝缘轻杆相连，A带的电荷量为q=+7×10^-7C，B不带电，质量分别为m_A=0.01kg、m_B=0.08kg．将两小球从圆环上的图示位置（A与圆心O等高，B在圆心O的正下方）由静止释放，两小球开始沿逆时针方向转动．重力加速度大小为g=10m/s²．
（1）通过计算判断，小球A能否到达圆环的最高点C？
（2）求小球A的最大速度值．
（3）求小球A从图示位置逆时针转动的过程中，其电势能变化的最大值．

Answer 1

分析 （1）设A、B在转动过程中，分别对A、B由动能定理列方程求解速度大小，由此判断A能不能到达圆环最高点． 
（2）A、B做圆周运动的半径和角速度均相同，对A、B分别由动能定理列方程联立求解最大速度；
（3）A、B从图示位置逆时针转动过程中，当两球速度为0时，电场力做功最多，电势能减少最多，根据电势能的减少与电场力做功关系求解．

解答 解：（1）设A、B在转动过程中，轻杆对A、B做的功分别为W_T、${W_T}^′$，则：${W_T}+{W_T}^′=0$①
设A、B到达圆环最高点的动能分别为E_KA、E_KB，
对A由动能定理：qER-m_AgR+W_T1=E_KA②
对B由动能定理：${W_{T1}}^′-{m_B}gR={E_{KB}}$③
联立解得：E_KA+E_KB=-0.04J④
上式表明：A在圆环最高点时，系统动能为负值，故A不能到达圆环最高点． ⑤
（2）设B转过α角时，A、B的速度大小分别为v_A、v_B，因A、B做圆周运动的半径和角速度均相同，故：v_A=v_B⑥
对A由动能定理：$qERsinα-{m_A}gRsinα+{W_{T2}}=\frac{1}{2}{m_A}v_A^2$⑦
对B由动能定理：${W_{T2}}^′-{m_B}gR（1-cosα）=\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$⑧
联立解得：$v_A^2=\frac{8}{9}×（3sinα+4cosα-4）$⑨
由上式解得，当$tanα=\frac{3}{4}$时，A、B的最大速度均为${v_{max}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}m/s$
（3）A、B从图示位置逆时针转动过程中，当两球速度为0时，电场力做功最多，电势能减少最多，由⑨式得：3sinα+4cosα-4=0
解得：$sinα=\frac{24}{25}$或sinα=0（舍去）
故A的电势能减少：$\left|△\right.\left.{E_p}\right|=qERsinα=\frac{84}{625}J=0.1344J$．
答：（1）小球A不能到达圆环的最高点C；
（2）小球A的最大速度值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}m/s$．
（3）小球A从图示位置逆时针转动的过程中，其电势能变化的最大值为0.1344J．

点评 有关带电粒子在匀强电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答．