Question

3．如图所示为“割绳子”游戏中的一幅截图，游戏中割断左侧绳子糖果就会通过正下方第一颗星星…．糖果一定能经过星星处吗？现将其中的物理问题抽象出来进行研究：三根不可伸长的轻绳共同系住一颗质量为m的糖果（可视为质点），设从左到右三根轻绳的长度分别为l₁、l₂ 和l₃，其中最左侧的绳子处于竖直且张紧的状态，另两根绳均处于松弛状态，三根绳的上端分别固定在同一水平线上，且相邻两悬点间距离均为d，糖果正下方的第一颗星星与糖果距离为h．已知绳子由松弛到张紧时沿绳方向的速度分量即刻减为零，现将最左侧的绳子割断，以下选项正确的是（　　）

• A． 只要满足${l_2}≥\sqrt{{{（{l_1}+h）}^2}+{d^2}}$，糖果就能经过正下方第一颗星星处
• B． 只要满足${l_3}≥\sqrt{{{（{l_1}+h）}^2}+4{d^2}}$，糖果就能经过正下方第一颗星星处
• C． 糖果可能以$\frac{mg{{l}_{2}}^{2}}{{d}^{2}}$（$\sqrt{{{l}_{2}}^{2}-{d}^{2}}$-l₁）的初动能开始绕中间悬点做圆运动
• D． 糖果到达最低点的动能可能等于mg[l₂-$\frac{（{{l}_{2}}^{2}-{d}^{2}）^{\frac{3}{2}}}{{{l}_{2}}^{2}}$-$\frac{{l}_{1}{d}^{2}}{{{l}_{2}}^{2}}$]

Answer 1

分析 糖果通过正下方第一颗星星前，绳2和绳3不能绷紧；绕中间点作圆周运动时，绳1被切断，绳2绷紧时有速度损失，可以由初态到绳2绷紧前使用动能定理求解；最低点之前可能有两次速度损失．

解答 解：A、B、小球通过正下方第一颗星星之前，绳2和绳3应刚好伸直或仍然弯曲，则需同时满足${l}_{2}≥\sqrt{（{l}_{1}+h）^{2}+{d}^{2}}$和${l}_{3}≥\sqrt{（{l}_{1}+h）^{2}+4{d}^{2}}$； 故A、B错误；
    C、从小球自由下落到L₂刚刚伸直，由动能定理得$mg（\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}-{l}_{1}）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，在绳2绷紧后，沿绳方向速度会损失掉，剩余速度为${v}_{y}=v\frac{d}{{l}_{2}}$；解以上两式得$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$=$mg\frac{{d}^{2}}{{l}_{2}^{2}}（\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}-{l}_{1}）$，故C错误；
   D、以C选项末态为初态，以糖果刚刚到达最低点为末态，由动能定理得$mg（{l}_{2}-\sqrt{{l}_{2}^{2}-{d}^{2}}）={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$，解得E_K=mg[l₂-$\frac{（{{l}_{2}}^{2}-{d}^{2}）^{\frac{3}{2}}}{{{l}_{2}}^{2}}$-$\frac{{l}_{1}{d}^{2}}{{{l}_{2}}^{2}}$]，故D正确．
故选：D．

点评 本题涉及动能定理、速度分解、运动过程分析等内容，是一道综合题，难度较大，过程的选择和速度分解的建轴方向是关键．