Question

17．如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险．一辆质量m=4×10³kg的货车在倾角为30°的连续长直下坡高速路上以18m/s的速度匀速行驶，突然汽车刹车失灵，开始加速运动，此时汽车所受到的摩擦和空气阻力共为车重的0.2倍．在加速前进了96m后，货车平滑冲上了倾角为37°的碎石铺成的避险车道，已知货车在该避险车道上所受到的摩擦阻力共车重的0.8倍．货车的整个运动过程可视为直线运动，sin37°=0.6，g=10m/s²．求：
（1）汽车刚冲上避险车道时速度的大小；
（2）要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为多少；
（3）若避险车道足够长，汽车在避险车道上面损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出汽车的加速度，然后应用匀变速直线运动的速度位移公式求出汽车刚冲上避险车道时的速度．
（2）由牛顿第二定律求出汽车在避险车道上的加速度，然后应用匀变速直线运动的速度位移公式求出车道的长度．
（3）汽车在避险车道上面损失的机械能克服摩擦阻力做的功，由功能关系求解．

解答 解：（1）货车在倾角为30°的长直下坡高速路上加速运动时，对汽车，由牛顿第二定律得：
mgsin30°-0.2mg=ma₁，
汽车做匀加速直线运动，由速度位移公式得：v²-v₀²=2a₁x，
据：x=96m，v₀=18m/s
代入数据解得汽车刚冲上避险车道时速度为：v=30m/s；
（2）在避险车道上，由牛顿第二定律得：mgsin37°+0.8mg=ma₂，
汽车做匀减速直线运动，由速度位移公式得：0²-v²=-2a₂s，
代入数据解得：s=32.14m；
（3）汽车在避险车道上面损失的机械能克服摩擦阻力做的功，为：△E_损=0.2mgx+0.8mgs
代入数据解得：△E_损=1.03×10⁶J 
答：（1）汽车刚冲上避险车道时速度的大小为30m/s；
（2）要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为32.14m．
（3）汽车在避险车道上面损失的机械能是1.03×10⁶J．

点评 本题分析清楚汽车的运动过程，运用动力学方法：牛顿第二定律与运动学公式结合解决这类问题．