Question

11．如图所示，原长为L的轻质弹簧一端固定在O点，另一端与质量为m的圆环相连，圆环套在粗糙竖直固定杆上的A处，环与杆间动摩擦因数μ=0.5，此时弹簧水平且处于原长．让圆环从A处由静止开始下滑，经过B处时速度最大，到达C处时速度为零．过程中弹簧始终在弹性限度之内．重力加速度为g．求：
（1）圆环在A处的加速度为多大？
（2）若AB间距离为$\frac{3}{4}L$，则弹簧的劲度系数k为多少？
（3）若圆环到达C处时弹簧弹性势能为E_p，且AC=h，使圆环在C处时获得一个竖直向上的初速度，圆环恰好能到达A处．则这个初速度应为多大？

Answer 1

分析 （1）圆环在A处时，合力等于重力，由牛顿第二定律求加速度．
（2）圆环经过B处时速度最大，合力为零，由平衡条件和胡克定律求弹簧的劲度系数k．
（3）分别研究A到C和C到A，由功能关系列式，即可求解．

解答 解：（1）圆环在A处时，合力等于重力，由牛顿第二定律得
  mg=ma，得 a=g
（2）圆环经过B处时，弹簧的弹力 F=k（$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{3}{4}L）^{2}}$-L）=$\frac{kL}{4}$
设∠OBA=α，则cosα=$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$
速度最大，合力为零，由平衡条件得：
  Fcosα+μFsinα=mg
联立解得 k=$\frac{4mg}{L}$
（3）圆环从A运动到C，由功能关系得
  W_f=E_p-mgh
从C运动到A的过程，由功能关系得
  W_f′=mgh-E_p-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 W_f=W_f′
解得 v₀=2$\sqrt{\frac{mgh-{E}_{p}}{m}}$
答：
（1）圆环在A处的加速度为g．
（2）若AB间距离为$\frac{3}{4}L$，则弹簧的劲度系数k为$\frac{4mg}{L}$．
（3）这个初速度应为2$\sqrt{\frac{mgh-{E}_{p}}{m}}$．

点评 本题要能正确分析小球的受力情况和运动情况，对物理过程进行受力、运动、做功分析，是解决问题的根本方法，掌握功能关系的应用．