Question

18．如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，轨道半径为r，已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行周期．
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则经过多长时间，他们相距最远？

Answer 1

分析 研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期．
卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于2π时，卫星再一次相距最近．

解答 解：（1）由万有引力定律和向心力公式得
G$\frac{mM}{r^2}$=m$\frac{{4{π^2}}}{T_B^2}$r      ①
在地球表面有：G$\frac{Mm}{R^2}$=mg②
联立①②得
T_B=2π$\sqrt{\frac{r^3}{{g{R^2}}}}$③
（2）它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：
ω_Bt-ω₀t=2π
其中ω_B=$\frac{2π}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，ω₀=$\frac{2π}{T}$
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{r}^{3}}}-\frac{2π}{T}}$．
答：（1）卫星B的运行周期是2π$\sqrt{\frac{r^3}{{g{R^2}}}}$．
（2）经t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{r}^{3}}}-\frac{2π}{T}}$，他们相距最远．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．