Question

13．如图甲所示，将一间距为L=1m的U形光滑导轨（不计电阻）固定倾角为θ=30°，轨道的上端与一阻值为R=1Ω的电阻相连接，整个空间存在垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B未知，将一长度也为L=1m、阻值为r=0.5Ω、质量为m=0.4kg的导体棒PQ垂直导轨放置（导体棒两端均与导轨接触）．再将一电流传感器按照如图甲所示的方式接入电路，其采集到的电流数据能通过计算机进行处理，得到如图乙所示的I-t图象．假设导轨足够长，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直．已知重力加速度g=10m/s²．
（1）求0.5s时定值电阻的发热功率；
（2）求该磁场的磁感应强度大小B；
（3）估算0～1.2s的时间内通过传感器的电荷量以及定值电阻上所产生的热量．

Answer 1

分析 （1）由图示图象求出0.5s时的电流大小，然后应用电功率公式求出发热功率．
（2）由乙图读取金属杆达到稳定运动时的电流，此时杆受力平衡，由平衡条件和安培力公式求解磁感应强度B的大小；
（3）根据图示图象求出通过传感器的电荷量，求出通过传感器的电荷量表达式，然后求出导体棒下滑的距离，然后应用能量守恒定律与串联电路特点求出定值电阻上产生的热量．

解答 解：（1）由I-t图象可知当t=0.5s时有：I=1.10A，
定值电阻的发热功率为：P=I²R=1.10²×1=1.21W；
（2）由图知，当金属杆达到稳定运动时的电流为1.60A，
稳定时杆做匀速直线运动，由平衡条件得：mgsinθ=BIL，
解得：B=1.25T；
（3）1.2s内通过电阻的电量为图线与t轴包围的面积，由图示图象可知，总格数为130格，电荷量为：q=130×0.1×0.1C=1.3C；
由图示图象可知，1.2s末杆的电流为：I=1.50A，
由闭合电路欧姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
代入数据解得：v=1.8m/s，
电荷量：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{R+r}$△t=$\frac{\frac{△Φ}{△t}}{R+r}$△t=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$
代入数据解得：x=1.56m，
由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv²+Q
代入数据解得：Q=2.47J，
定值电阻上产生的热量为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{1}{1+0.5}$×2.47≈1.65J；
答：（1）0.5s时定值电阻的发热功率为1.21W；
（2）该磁场的磁感应强度大小B为1.25T；
（3）0～1.2s的时间内通过传感器的电荷量为1.3C，定值电阻上所产生的热量为1.65J．

点评 本题是一道电磁感应与电路、力学相结合的综合题，分析清楚金属杆的运动，应用平衡条件、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、能量守恒定律等可以解题．本题的难点有两个：一是抓住电流图象“面积”的意义，估算出通过R的电量；二是根据感应电量$\frac{△Φ}{R+r}$求出杆通过的距离．