Question

12．如图所示，有一水平桌面长L，套上两端开有小孔的外罩（外罩内情况无法看见），桌面上沿中轴线有一段长度未知的粗糙面，其它部分光滑，一小物块（可视为质点）以速度v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$从桌面的左端沿桌面中轴线方向滑入，小物块与粗糙面的动摩擦系数μ=0.5，小物体滑出后做平抛运动，桌面离地高度h以及水平飞行距离s均为$\frac{L}{2}$（重力加速度为g）求：
（1）未知粗糙面的长度X为多少？
（2）若测得小物块从进入桌面到落地经历总时间为$\frac{5}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$，则粗糙面的前端离桌面最左端的距离？
（3）粗糙面放在何处，滑块滑过桌面用时最短，该时间为多大？

Answer 1

分析 （1）小球飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律列方程求解离开桌面时的速度，然后根据动能定理列方程求解桌面的粗糙长度；
（2）分阶段根据运动形式采用不通规律求解各阶段的时间，然后求出总时间；
（3）先确定出粗糙面的位置，然后由运动学公式列方程求时间．

解答 解：（1）平抛运动：h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{L}{2}$
S=vt=$\frac{L}{2}$
牛顿第二定律：μmg=ma
水平方向直线运动：v²-v₀²=-2ax
解得：x=$\frac{L}{4}$         
（2）令粗糙面的前端离桌面最左端距离为d，已知x=$\frac{L}{4}$，且不管粗糙面放哪，末速度不变为v=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，但运行时间不同．
匀速直线运动 t₁=$\frac{d}{{v}_{0}}$=$\frac{2d}{\sqrt{2gL}}$
匀减速直线运动t₂=$\frac{{v}_{0}-v}{μg}$=（$\sqrt{2}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$
匀速直线运动₃=$\frac{L-d-\frac{L}{4}}{v}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$$-\frac{2d}{\sqrt{gL}}$
平抛运动：t₄=$\sqrt{\frac{L}{g}}$
由t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{5}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$，解得：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
（3）不管粗糙面放哪，末速度不变为v=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，由第（2）小题知：t₂不变，两段匀速直线运动，总位移为3L/4，且v＜v₀，以速度v₀运动位移最长时，运行时间最短，所以粗糙面前端应放在离桌面最左端3L/4处．
匀速直线运动 t₁=$\frac{\frac{3L}{4}}{{v}_{o}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$
匀减速直线运动t₂=$\frac{{v}_{0}-v}{μg}$=（$\sqrt{2}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$
匀速直线运动t₃=0
最短时间为t=t₁+t₂+t₃+t₄=（$\frac{7\sqrt{2}}{4}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$
答：（1）未知粗糙面的长度X为$\frac{L}{4}$，
（2）若测得小物块从进入桌面到落地经历总时间为$\frac{5}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$，则粗糙面的前端离桌面最左端的距离$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
（3）粗糙面放在何处，滑块滑过桌面用时最短，该时间为=（$\frac{7\sqrt{2}}{4}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$

点评 本题考查了平抛运动，匀变速直线运动的速度时间公式、以及动能定理，运动阶段较多提升了题目的难度，关键是确定出粗糙面的位置．