Question

17．如图所示，各种不同速率的正负离子射入由A、B两板提供的匀强电场的正中央，已知离子所带电量的绝对值为e，A、B两极板间的电压为U，距离为d，板长为L，板的右端距荧光屏S为2L，离子若打在荧光屏S上出现一个亮点．今在板的右端与荧光屏中间放一宽度为d的金属板C，C板与过A、B板正中央的直线垂直，且直线经过C板的中心，它能使射到C上的离子不能再射到光屏S上．试求：
（1）动能多大的离子经过电场后才能打到荧光屏S上；
（2）荧光屏上出现的亮斑的宽度．

Answer 1

分析 离子在AB板间的电场中做类平抛运动，将离子的运动按水平和竖直两个方向进行分析，运用牛顿第二定律、运动学公式，结合两个分运动的等时性，求出离子射出电场时的偏转距离y．离子离开电场后做匀速直线运动，离子要打在屏MN上，y必须满足y＜$\frac{d}{2}$，且Ltanφ+y＞$\frac{d}{2}$．联立即可求解．

解答 解：（1）偏转电场的场强大小为：E=$\frac{U}{d}$①
离子所受电场力：F=Eq②
离子的加速度为：F=ma③
由①②③解得：a=$\frac{Ue}{md}$④
设离子的质量为m，初速度为v₀，离子射出电场的时间t为：L=v₀t⑤
射出电场时的偏转距离y为：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$⑥
由④⑤⑥解得：y=$\frac{Ue{L}^{2}}{2md{v}_{0}^{2}}$⑦
离子射出电场时的竖直分速度v_y=at⑧
射出电场时的偏转角：tanφ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$⑨
由④⑤⑧⑨得：tanφ=$\frac{eUL}{md{v}_{0}^{2}}$⑩
离子射出电场时做匀速直线运动
要使离子打在屏MN上，需满足：y＜$\frac{d}{2}$，Ltanφ+y＞$\frac{d}{2}$
由⑦⑩可得：$\frac{eU{L}^{2}}{2{d}^{2}}＜{E}_{K}＜\frac{3eU{L}^{2}}{2{d}^{2}}$
（2）由（1）中偏移量：y=$\frac{Ue{L}^{2}}{2md{v}_{0}^{2}}$和偏转角tanφ=$\frac{eUL}{md{v}_{0}^{2}}$，可得：y=tanΦ$\frac{L}{2}$，粒子出偏转电场时，轨迹的反向延长线交于板间中线的中点，
当粒子从极板下边缘偏出时，由几何关系可得：$\frac{\frac{d}{2}}{{y}_{2}}=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{2}+2L}$，解得：${y}_{2}=\frac{5}{2}d$，
同理当粒子偏转后，恰好经过C板下边缘，$\frac{\frac{d}{2}}{{y}_{1}}=\frac{\frac{L}{2}+L}{\frac{L}{2}+2L}$，解得：${y}_{1}=\frac{5}{6}d$，

荧光屏上出现的亮斑的宽度，为$△y=2（{y}_{2}-{y}_{1}）=2（\frac{5}{2}d-\frac{5}{6}d）$=$\frac{10}{3}d$，

答：（1）动能范围为：$\frac{eU{L}^{2}}{2{d}^{2}}＜{E}_{K}＜\frac{3eU{L}^{2}}{2{d}^{2}}$
（2）荧光屏上出现的亮斑的宽度为为$\frac{10}{3}d$．

点评 本题考查粒子在偏转电场中的运动，解题关键是利用类平抛运动知识，要能熟练推导出偏转距离和偏转角度的表达式，同时要正确分析临界条件，相结合即可进行求解．