Question

12．如图所示，在真空中，半径为b的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，磁场方向垂直纸面向外（未画出）．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离为b，板长为2b，两板的中心线O₁O₂与磁场区域的圆心O在同一直线上，两板左端与O₁在同一竖直线上．有一电荷量为q、质量为m的带电粒子，以某一速度从圆周上的P点沿垂直于半径并指向圆心OO₁的方向进入磁场，当从圆周上的O₁点飞出磁场时，给M、N板加上如右图所示的交变电压．最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板的边缘飞出．（不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力）

（l）求带电粒子的电性及进入磁场P点时的速率v₀；
（2）求交变电压的周期T和电压U₀的值；
（3）若t=0时，将该粒子从MN板右侧沿板的中心线O₂O₁，仍以原速率v₀射入M、N之间，求粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据粒子的偏转，通过左手定则确定粒子的电性，根据粒子在磁场中的运动半径，结合半径公式求出进入磁场P点的速度．
（2）粒子在电场中，垂直电场方向做匀速直线运动，沿电场方向受到周期性变化的电场力，结合牛顿第二定律和运动学公式求出周期和交变电压的表达式．
（3）当该粒子恰好从N板边缘以平行于极板的速度射入磁场，且进入磁场的速度仍为v₀，运动的半径仍为b，作出粒子的运动轨迹，根据几何关系，结合周期公式进行求解．

解答 解：（1）粒子自P点进入磁场，从O₁点水平飞出磁场，则粒子必带正电．
运动的半径必为b，则$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{b}$，
解得${v}_{0}=\frac{Bbq}{m}$．
（2）粒子自O₁点进入电场，最后恰好从N板的边缘平行飞出，设运动时间为t，则
2b=v₀t，
$\frac{b}{2}=n•2•\frac{1}{2}•\frac{q{U}_{0}}{mb}（\frac{T}{2}）^{2}$，
t=nT，（n=1，2，3…）
解得T=$\frac{2m}{nqB}$ （n=1，2，3，…）
${U}_{0}=\frac{Nq{b}^{2}{B}^{2}}{2m}$（n=1，2，3，…）
（3）当该粒子恰好从N板边缘以平行于极板的速度射入磁场，且进入磁场的速度仍为v₀，运动的半径仍为b，设进入磁场的点为Q，离开磁场的点为R，圆心为O₃，如图所示，四边形OQO₃R是菱形，故$∠Q{O}_{3}R=\frac{2π}{3}$．
则运动的时间$t=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）带电粒子的电性及进入磁场P点时的速率为$\frac{Bbq}{m}$；
（2）交变电压的周期T和电压U₀的值为${U}_{0}=\frac{Nq{b}^{2}{B}^{2}}{2m}$（n=1，2，3，…）
（3）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{2πm}{3qB}$．

点评 考查粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，掌握处理类平抛运动与匀速圆周运动的规律，理解牛顿第二定律与几何关系在题中的应用．