Question

2．如图所示，将一根绝缘金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环与长直金属杆M导通，图中a、b间距离为2L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆的距离都是d．杆的电阻不计，导线电阻为R，右边虚线范围内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于弯曲导线所在平面的匀强磁场，磁场区域的宽度为L，现在外力作用下导线沿杆正以恒定的速度v向右运动，t=0时刻a环刚从O点进入磁场区域，则下列说法正确的是（　　）

• A． t=$\frac{L}{2v}$时刻，回路中的感应电动势为Bdv
• B． t=$\frac{3L}{4v}$时刻，回路中的感应电动势为2Bdv
• C． t=$\frac{L}{4v}$时刻，回路中的感应电流第一次开始改变方向
• D． 导线从进入磁场到全部出磁场，外力做功为$\frac{3{R}^{2}{d}^{2}L}{R}$

Answer 1

分析 由E=Blv求出感应电动势，由E=Blv求出感应电动势的表达式，然后根据该表达式分析；
金属导线向右一共移动了3L，把全过程分为三个阶段，因导线切割磁力线的有效长度是随正弦规律变化的，所以产生的电流也是按正弦规律变化的正弦交流电，分别求出在这三段中的有效电动势，结合运动时间可求出每段运动过程上产生的内能，外力F所做的功全部转化为了内能．

解答 解：A、导线切割磁感线产生的感应电动势：E=Blv=Byv，其中l指的是有效长度，在本题中l指的是纵坐标大小，即：
y=dsinθ=dsinωt=dsin$\frac{2π}{T}$t=dsin$\frac{2π}{\frac{L}{v}}$t=dsin$\frac{2πvt}{L}$，当t=$\frac{L}{2v}$时，导线切割磁感线的有效长度L=0，所以感应电动势为0，故A错误；
B、当t=$\frac{3L}{4v}$，L为d，所以感应电动势E=Bdv，故B错误；
C、由E=Bdvsin（vt）知，在vt=0.5L处（相当于π处）感应电流第一次改变方向，所以t=$\frac{L}{2v}$时刻，回路中的感应电流第一次开始改变方向，故C错误；
D、金属导线在磁场中运动时，产生的电动势为：e=Bvy，y为导线切割磁力线的有效长度．
在导线运动的过程中，y随时间的变化为：y=dsinπ$\frac{x}{L}$=dsinπ$\frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω，
则导线从开始向右运动到L的过程中（如图）有：e₁=Bvy=Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
则此过程中电动势的最大值为：E_1max=Bvd，此过程中电动势的有效值为：E₁=$\frac{{E}_{1max}}{\sqrt{2}}$=$\frac{Bvd}{\sqrt{2}}$，
导线从L向右运动到2L的过程中（如图）有：e₂=2Bvy=2Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt，
即：E_2max=2Bvd，
所以：E₂=2E₁=$\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$，
导线从2L向右运动到3L的过程与导线从开始向右运动L的过程相同（如图），
则在这三段中运动的时间各为t，t=$\frac{L}{v}$，
在整个过程中产生的内能为：Q=$\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$，
解得：Q=$\frac{3{B}^{2}{d}^{2}Lv}{R}$
故D正确；
故选：D

点评 此类问题考察了切割磁感线产生的感应电动势的有效长度，并以另外一种形式考察了交变电流的做功问题，解决此题的关键是把整个过程进行合理分段，分别求出各段的电动势的有效值，即可求出全过程的电功了．难度较大．