Question

19．某一长直的赛道上，有一辆赛车前方100m处有一安全车正以15m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s²的加速度追赶．试求：
（1）赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距是多少米？
（2）当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s²的加速度做匀减速直线运动，问两车再经过多长时间第二次相遇？（设赛车可以从安全车旁经过而不发生相撞．）

Answer 1

分析 （1）在速度相等前，安全车的速度大于赛车的速度，两车距离越来越大，速度相等后，安全车的速度小于赛车的速度，两车的距离越来越小，则两车速度相等时，距离最大．根据匀变速直线运动的速度时间公式求出相距最远的时间，从而根据运动学公式得出最远距离．
（2）根据位移相等求出第二次相遇的时间，注意要求出赛车刹车到停止的时间，因为赛车速度为零后不再运动，从而可以判断出安全车是在赛车停止前追上还是在停止后追上．

解答 解：（1）当两车速度相等时相距最远，对赛车：
v=at
∴t=7.5s
故经过7.5s两车相距最远．
当两车相距最远时，
赛车位移：${x}_{赛}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×2×7．{5}^{2}m=56.25m$
安全车位移：x_安=vt=15×7.5m=112.5m
两车之间距离△x′=x_安+△x-x_赛=156.25m
（2）设两第一次相遇时间为t₁；
则：$v{t}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}-△x$
代入数据解得：t₁=20s
第一次相遇时赛车的速度为：v₁=at₁=2×20m/s=40m/s
设赛车停下所用时间为t₀，
则${t}_{0}=\frac{{v}_{1}}{a′}=\frac{40}{4}s=10s$
这段时间内赛车的位移为：${x}_{赛}′=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{0}=\frac{40}{2}×10m=200m$
安全车的位移为：x_安′=vt₀=15×10m=150m
x_赛′＞x_安′，所以赛车停下时安全车还未追上，要继续行使t₂
则：${t}_{2}=\frac{{x}_{赛}′-{x}_{安}′}{v}=\frac{200-150}{15}s=3.3s$
所以第二次相遇所用时间为：t₃=t₀+t₂=10+3.3s=13.3s
答：（1）赛车经7.5s追上安全车，追上之前与安全车最远相距是156.25米；
（2）两车再经过13.3s第二次相遇．

点评 解决本题的关键抓住两车位移的关系去求追及的时间．以及知道在第一次相遇前，何时两车距离最大．