Question

10．如图所示，传送带A、B间距离L=5m且在同一水平面内，两个轮子半径均为r=0.2m，半径R=0.4m的固定竖直光滑圆轨道与传送带相切于B点，C点是圆轨道的最高点．当传送带静止不动时，质量m=1kg的小煤块在A点以初速度v₀=2$\sqrt{15}$m/s开始运动，刚好能运动到C点．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）传送带静止不动，小滑块以水平速度v0滑上传送带，并能够运动到C点，动摩擦因数μ？
（2）当传送带的轮子以ω=10rad/s的角速度匀速转动时，将小滑块无初速地放到传送带上的A点，求小滑块从A点运动到B点的时间t是多少？
（3）当传送带的轮子匀速转动的角速度在什么范围内时，将小煤块无初速地放到传送带上的A点，小煤块运动到C点时对圆轨道的压力最大，最大压力FC是多大．

Answer 1

分析 （1）在C点由牛顿第二定律求出临界速度，根据动能定理求解．
（2）分析滑块的运动，由牛顿第二定律和运动学公式求解
（3）根据动能定理求出对应到达C点时的速度，再牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）设小滑块能够运动到C点，在C点的速度至少为v_c，则有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$        
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-2mgR-μmgL
解得：μ=0.4
（2）设传送带运动的速度为v₁，小滑块在传送带上滑动时加速度是a，滑动时间是t₁，滑动过程中通过的距离是x，则
v₁=rω           
由牛顿第二定律有：ma=μmg
又v₁=at₁
x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
解得：v₁=2m/s，a=4m/s²，t₁=0.5s，x=0.5m
由于x＜L，所以小滑块还将在传送带上与传送带相对静止地向B点运动，设运动时间为t₂，则有：
L-x=v₁t₂     
解得：t₂=2.25s    
则有：t=t₁+t₂=2.75s
（3）轮子转动的角速度越大，即传送带运动的速度越大，小滑块在传送带上加速的时间越长，达到B点的速度越大，到C点时对圆轨道的压力就越大．
小滑块在传送带上一直加速，达到B点的速度最大，设为v_Bm，对应到达C点时的速度为v_cm，圆轨道对小滑块的作用力为F，则有：
${v}_{Bm}^{2}$=2aL         
由动能定理得：
 $\frac{1}{2}m{v}_{Cm}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{Bm}^{2}$=-2mgR
在C点：mg+F=m$\frac{{v}_{Cm}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律可知对圆轨道的压力为：F_m=F        
解得：F_m=5N
答：
（1）动摩擦因数μ是0.4．
（2）小滑块从A点运动到B点的时间t是2.75s．
（3）最大压力是5N．

点评 解决该题关键要掌握牛顿第二定律，运动学公式以及动能定理的应用．对于物体在传送带上运动过程，要正确分析其受力情况，来判断其运动情况，再确定所用的物理规律．