Question

11．如图所示，半径为R的光滑半圆轨道放置于竖直平面内，质量均为m的两小球都从轨道最高点P开始运动，小球as从静止开始沿轨道下滑，小球b以某一初速度水平抛出，一段时间后落到半圆轨道的最低点Q，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球b刚落到Q点时的速度大小为$\frac{\sqrt{5gR}}{2}$
• B． 小球b刚落到Q点时重力的瞬时功率为mg$\sqrt{2gR}$
• C． 从P到Q，小球a所需时间小于小球b所需时间
• D． 从P到Q，小球a重力做功的最大功率为$\frac{2}{3}$$\sqrt{\sqrt{3}gR}$

Answer 1

分析 根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出初速度，根据速度时间公式求出落到Q点的竖直分速度，结合平行四边形定则求出平抛运动落到Q点的速度．根据瞬时功率的公式，结合落到Q点的竖直分速度，求出重力的瞬时功率．对于小球a，求出下落h时的速度，结合功率公式求出瞬时功率的表达式，结合数学知识求解最大功率．

解答 解：A、小球b做平抛运动，平抛运动的时间t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，则平抛运动的初速度${v}_{0}=\frac{R}{t}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，小球落到Q点的竖直分速度${v}_{y}=gt=\sqrt{2gR}$，根据平行四边形定则知，小球落到Q点的速度v_Q=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{\frac{gR}{2}+2gR}=\sqrt{\frac{5gR}{2}}$，故A错误．
B、小球b落到Q点时重力的瞬时功率P=$mg{v}_{y}=mg\sqrt{2gR}$，故B正确．
C、小球a由静止下滑做圆周运动，到达Q点下降的高度也为R，时间一定大于自由落体运动的时间，故C错误．
D、设下降的高度为h时，速度为v，根据动能定理得，$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gh}$，方向沿切线方向，根据几何关系知，速度方向与竖直方向夹角的余弦cosα=$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{R}$，则重力的瞬时功率P=mgvcosα=mg$•\sqrt{2gh}$$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{R}$，根据数学导数求极值的方法知，当h=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$时，重力的功率最大，${P}_{m}=mg•\frac{2}{3}\sqrt{\sqrt{3}gR}$，故D错误．
故选：B．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及掌握瞬时功率的公式，对于D选项，对数学能力要求较高，有一定的难度．