Question

8．如图所示，两根无限长金属导轨MN，PQ水平地放置，相距L，质量均为m的光滑金属棒ab，cd垂直于导轨上，在导轨间的电阻均为R，导轨电阻不计，整个装置处在磁感应强度为B的竖直向下的匀强磁场中（图中未画出）．现对ab棒施加一个平行于导轨、方向水平向右的恒力F作用，cd棒会向右运动．设某一时刻ab棒的速度为v₁，cd棒的速度为v₂，求此时：

（1）安培力对cd棒做功的功率P_cd；
（2）ab棒克服安培力做功的功率；
（3）电路中产生的电功率P_电．

Answer 1

分析 （1）由右手定则可以判断出感应电流方向，然后由法拉第电磁感应强度求出电路中的电动势，由欧姆定律求出电路电流，由安培力公式求出杆受到的安培力；由瞬时功率的表达式即可求出；
（2）求出安培力，由瞬时功率的表达式即可求出；
（3）由电功率的表达式即可求出电路中产生的电功率P_电．

解答 解：（1）ab在拉力F的作用下向右运动时，ab上产生从a向b的感应电流，电流由d流向d，所以由左手定则可知，ab受到的安培力的方向向右，cd也将开始向右运动．
当ab棒的速度为v₁，cd棒的速度为v₂时，电路中产生的感应电动势为：E=BL（v₂-v₁）
电路中的电流我：I=$\frac{E}{2R}=\frac{BL（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$
cd受到的安培力为：${F}_{cd}=BIL=\frac{E}{2R}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$
所以安培力对cd棒做功的功率为：P_cd=F_cd•v₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{1}}{2R}$
（2）ab受到的安培力为：${F}_{ab}=BIL=\frac{E}{2R}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$
ab棒克服安培力做功的功率为：P_ab=F_ab•v₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{2}}{2R}$；
（3）电路中产生的电功率为：P_电=I²•2R=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2R}$
答：（1）安培力对cd棒做功的功率是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{1}}{2R}$；
（2）ab棒克服安培力做功的功率 是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{2}}{2R}$；
（3）电路中产生的电功率是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2R}$．

点评 本题考查了求导体棒的加速度、导体棒的最大速度，分析清楚金属杆的运动过程是正确解题的前提与关键；当金属杆受到的安培力与拉力相等时，杆做匀速直线运动，速度达到最大．