Question

3．如图，质量为m=1kg的小滑块（视为质点）在半径为R=0.4m的$\frac{1}{4}$圆弧A端由静止开始释放，它运动到B点时速度为v=2m/s．当滑块经过B后立即将圆弧轨道撤去．滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ=37°、长s=1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦系数可在0≤μ≤1.5之间调节．斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点．认为滑块通过C和D前后速度大小不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力．
（1）求滑块对B点的压力大小以及在AB上克服阻力所做的功；
（2）若设置μ=0，求质点从C运动到D的时间；
（3）若最终滑块停在D点，求μ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑块在B点所受的支持力，从而得出滑块对B点的压力，根据动能定理求出AB端克服阻力做功的大小．
（2）若μ=0，根据牛顿第二定律求出加速度，结合位移时间公式求出C到D的时间．
（3）最终滑块停在D点有两种可能，一个是滑块恰好从C下滑到D，另一种是在斜面CD和水平面见多次反复运动，最终静止在D点，结合动能定理进行求解．

解答 解：（1）滑块在B点，受到重力和支持力，在B点，根据牛顿第二定律有：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F=20N，
由牛顿第三定律得：F′=20N．
从A到B，由动能定理得：$mgR-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据得：W=2J．
（2）在CD间运动，有：mgsinθ=ma，
加速度为：a=gsinθ=10×0.6m/s²=6m/s²，
根据匀变速运动规律有：$s=vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}$
代入数据解得：t=$\frac{1}{3}s$．
（3）最终滑块停在D点有两种可能：
a、滑块恰好能从C下滑到D．则有：
$mgsinθ•s-{μ_1}mgcosθ•s=0-\frac{1}{2}m{v^2}$，
代入数据得：μ₁=1，
b、滑块在斜面CD和水平地面间多次反复运动，最终静止于D点．
当滑块恰好能返回C有：$-{μ}_{1}mgcosθ•2s=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据得到：μ₁=0.125，
当滑块恰好能静止在斜面上，则有：mgsinθ=μ₂mgcosθ，
代入数据得到：μ₂=0.75．
所以，当0.125≤μ＜0.75，滑块在CD和水平地面间多次反复运动，最终静止于D点．
综上所述，μ的取值范围是0.125≤μ＜0.75或μ=1．    
答：（1）滑块对B点的压力大小为20N，在AB上克服阻力所做的功为2J；
（2）质点从C运动到D的时间为$\frac{1}{3}s$；
（3）μ的取值范围为0.125≤μ＜0.75或μ=1．

点评 解决本题的关键理清滑块在整个过程中的运动规律，运用动力学知识和动能定理进行求解，涉及到时间问题时，优先考虑动力学知识求解．对于第三问，要考虑滑块停在D点有两种可能．