Question

4．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O₁、O₂和质量m_B=m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量m_A=m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ=60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O₁的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C点由静止释放，试求：
（1）小球下降的最大距离H；
（2）当小球下降到最低点时，小物块的速度大小v；
（3）小物块能下滑的最大距离S_m．

Answer 1

分析 （1）当系小物块的绳子与杆垂直时，小球下降到最低点，由几何知识求小球下降的最大距离H；
（2）在运动的过程中，对A、B两物体组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，当小球下降到最低点时速度为0，由系统的机械能守恒求小物块的速度大小v；
（3）当小物块下滑到最大距离时，速度为0，根据A物体的机械能的减小量等于B物体机械能的增加量，求出下滑的最大距离S_m．

解答 解：（1）当系小物块的绳子与杆垂直时，小球下降到最低点，由几何知识得小球下降的最大距离为：
H=L-Lsinθ=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$L
（2）当小球下降到最低点时速度为0，由系统的机械能守恒得：
m_AgL•cosθ•sinθ+m_BgH=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$
又  m_A=m_B=m
联立解得：v=$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\sqrt{3}）gL}$
（3）设小物块能下滑的最大距离为S_m，由系统的机械能守恒有：
m_AgS_msinθ=m_Bgh_B增
而 h_B增=$\sqrt{（{S}_{m}-Lcosθ）^{2}+（Lsinθ）^{2}}$-L
代入解得：S_m=4（1+$\sqrt{3}$）L
答：（1）小球下降的最大距离H是$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$L；
（2）当小球下降到最低点时，小物块的速度大小v是$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\sqrt{3}）gL}$；
（3）小物块能下滑的最大距离S_m是4（1+$\sqrt{3}$）L．

点评 解决本题的关键知道A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒．对于单个物体，有拉力做功，机械能不守恒，要灵活运用几何知识求物体下降的高度．