Question

3．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω₀；
（2）若物块和转台之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．为了使物块和陶罐相对静止，求陶罐的角速度ω应该满足的条件．

Answer 1

分析 （1）小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，结合角速度的大小，通过几何关系求出小物块离陶罐部的高度h；
（2）当ω＞ω₀时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，根据牛顿第二定律及平衡条件求解最大角速度，当ω＜ω₀时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，根据牛顿第二定律及平衡条件求解最小值．

解答 解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=mRsinθω_0^2$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）当ω＞ω₀时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为ω₁，如图；

由牛顿第二定律得，水平方向：${F}_{f1}cos60°+{F}_{N1}cos30°=mRsin60°{ω}_{1}^{2}$
竖直方向：F_f1sin60°+mg=F_N1sin30°
又：F_f1=μF_N1
联立以上三式解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{10g}{R}}$
当ω＜ω₀时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，设此最小角速度为ω₂

由牛顿第二定律得，${F}_{N2}cos30°-{F}_{f2}cos60°=mRsin60°{ω}_{2}^{2}$
mg=F_N2sin30°+F_f2sin60°
又：F_f2=μF_N2
联立三式解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{6g}{7R}}$，
综述，陶罐旋转的角速度范围为$\sqrt{\frac{6g}{7R}}≤ω≤\sqrt{\frac{10g}{R}}$
答：（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度为$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（2）若小物块一直相对陶罐静止，陶罐旋转的角速度的取值范围为$\sqrt{\frac{6g}{7R}}≤ω≤\sqrt{\frac{10g}{R}}$．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解，难度适中．