Question

5．线轴沿水平面作没有滑动的滚动，并且线端（A点）的速变为v，方向水平向右．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上（如图所示），线轴的内、外半径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．

Answer 1

分析 线上的A点与大圆的边缘的点具有相等的角速度，由线速度与角速度的关系求出大圆边缘的线速度；板与圆的切点具有相等的法向速度，结合它们的几何关系即可求出．

解答 解：如图，板上的C点与线轴上的C点具有相等的法向速度v_n，而且板上的v_n正是C点关于B轴的转动速度，则：

${v}_{n}=ω•\overline{BC}=ω•Rcot\frac{α}{2}$
线轴上C点的速度是C点对轴心O的转动速度v_cn和与轴心相等的平动速度v_o的矢量的和，而v_cn是沿圆的切向的，则C点的法向速度v_n应为：
v_n=v_o•sinα
线轴为刚体，且做纯滚动，所以以线轴与水平面的切点为基点，应有：
$\frac{v}{R+r}=\frac{{v}_{0}}{R}$
所以：${v}_{0}=\frac{R}{R+r}$
联立得：$ω=\frac{1-cosα}{R+r}$v
答：木板的角速度ω与角α的关系为$ω=\frac{1-cosα}{R+r}$v．

点评 该题为竞赛辅导题目，考查相对速度与牵连速度，因涉及的物理量与数学的关系比较多，这一类的题目历来是竞赛的难点之一，没有这方面能力的同学不需要做这一类的题目．