Question

1．如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系xoy，在坐标系的第二象限内有一粗糙曲面轨道，在第一象限内有一半径为R的光滑半圆弧轨道（圆心在y轴上），它们恰好在O点平滑连接．现让一质量为m的小球（可视为质点）从左侧距x轴竖直高度为4R的A点由静止释放，到达O点时的速度大小是v₀=$\sqrt{6gR}$，已知重力加速度为g．求：
（1）小球由A到O克服摩擦力做的功；
（2）小球到最高点B时对轨道的压力；
（3）若所有轨道均光滑，且左侧轨道满足的方程为y=$\frac{1}{2R}{x^2}$．要使小球能过圆弧轨道的最高点B，求小球从左侧轨道由静止释放的最低位置坐标．

Answer 1

分析 （1）小球由A到O，运用动能定理求克服摩擦力做的功；
（2）小球由O到B，运用动能定理求出小球到达B点的速度．在B点，由合力提供向心力，由牛顿第二、第三定律求小球到最高点B时对轨道的压力．
（3）对全过程，运用机械能守恒定律列方程．并结合最高点的临界条件列式，即可求解．

解答 解：（1）小球由A到O，由动能定理得：
  mg•4R-W_f=$\frac{1}{2}$mv₀²-0
据题 v₀=$\sqrt{6gR}$
解得，小球克服摩擦力做的功 W_f=mgR；
（2）小球由O到B，由动能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在B点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
   N+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得 N=mg
由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力大小为mg，方向向上．
（3）规定x思所在平面势能为零，设释放的最低位置坐标为（x，y），B点的最小速度为v_m．
对全过程，运用机械能守恒定律得：
  mgy=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
在B点，有 mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
联立得 y=$\frac{5}{2}$R
将y=$\frac{5}{2}$R代入抛物线方程y=$\frac{1}{2R}{x^2}$，得 x=-$\sqrt{5}$R
所以，最低位置坐标为（-$\sqrt{5}$R，$\frac{5}{2}$R）
答：
（1）小球由A到O克服摩擦力做的功是mgR；
（2）小球到最高点B时对轨道的压力大小为mg，方向向上；
（3）小球从左侧轨道由静止释放的最低位置坐标为（-$\sqrt{5}$R，$\frac{5}{2}$R）．

点评 对于粗糙曲面，往往根据动能定理求摩擦力做功．对于光滑曲线，常常根据机械能守恒定律研究速度问题．圆周运动的最高点临界条件是重力等于向心力．