Question

4．如图轻质弹簧两端分别与质量m₁和m₂的小球焊接，现将弹簧压缩使弹簧的弹性势能为E₀时用细绳将两小球锁定，然后置于相互垂直的竖直墙与光滑水平面之间（m₂与墙接触），再把细绳烧断解锁，求；
（1）弹簧第一次恢复原长时，小球m₁的速度；
（2）在以后的运动中弹簧能达到的最大弹性势能；
（3）小球m₂第一次获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）当弹簧第一次恢复原长时，小球m₂刚离开墙壁，由机械能守恒求出小球m₁的速度．
（2）在以后的运动中，当两球的速度相同时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律求得共同速度，再由系统的机械能守恒定律求解最大弹性势能．
（3）小球m₂离开墙壁后，弹簧第一次恢复原长时，小球m₂的速度最大，由机械能守恒结合动量守恒求解．

解答 解：（1）当弹簧第一次恢复原长时，小球m₂刚离开墙壁，小球m₁的速度设为v₀，由系统的机械能守恒有：
  $\frac{1}{2}$m₁v₀²=E₀
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$
（2）以后运动中，当弹簧的弹性势能最大时，两球的速度相等，设为v，规定向右为正方向，由动量守恒定律有：
  m₁v₀=（m₁+m₂）v
由机械能守恒定律得：
最大弹性势能 E_P=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
联立解得 E_P=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{E}_{0}$
（3）小球m₂离开墙壁后，弹簧第一次恢复原长时，小球m₂的速度最大，根据动量守恒得：
 m₁v₀=m₁v_A1+m₂v₂
由机械能守恒定律得
 $\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²；
解得小球m₂第一次获得的最大速度 v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$
答：
（1）弹簧第一次恢复原长时，小球m₁的速度是$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$；
（2）在以后的运动中弹簧能达到的最大弹性势能是$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{E}_{0}$；
（3）小球m₂第一次获得的最大速度$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$．

点评 正确认识动量守恒条件和机械能守恒条件是解决本题的关键．如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变；系统只有重力或弹力做功为机械能守恒条件．