题目内容

19．如图甲所示，一与水平面成30°运输带AB以一定的速率顺时针运行．在运输带的A点处无初速度放一质量m=1kg小物体的同时对小物体施加一沿斜面向上恒力F．在小物体由运输带的A端运动到B端的过程中，其动能随位移（相对地面）变化的关系图象如图乙所示．取g=10m/s2．求：
（1）小物体与运输带间的动摩擦因数；
（2）小物体在运输带上留下的划痕长度及小物体与运输带间产生的内能．

分析 （1）由图乙知，0-8s内物体的速度小于传送带的速度，8s内两者速度相等，8-24.5s内物体的速度大于传送带的速度，根据图象的斜率求合力，再分两段得出合力与F、摩擦力的关系，求摩擦力，即可求得动摩擦因数．
（2）根据Ek=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$求出8s时和24.5s时物体的速度，由位移公式求出物体与传送带的相对位移，即为划痕长度，由相对路程乘以滑动摩擦力求小物体与运输带间产生的内能．

解答 解：（1）根据动能定理知：△Ek=F合△x，则知图象乙的斜率等于合力．则0-8s内物体的合力为：F1=$\frac{128}{8}$=16N，
8-24.5s内物体的合力为：F2=$\frac{144.5-128}{24.5-8}$=1N
可得：F+μmgcos30°=F1；F-μmgcos30°=F2；
联立解得：F=8.5N，μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（2）由图乙知，8s时物体与传感带速度相同．设传送带的速度为v．则有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=128J，
解得：v=16m/s．
设物体到达B端时的速度为v′，则有：$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=144.5J
解得：v′=17m/s
物体与传送带的相对位移大小为：
△x=（vt1-$\frac{v}{2}{t}_{1}$）-（$\frac{v+v′}{2}{t}_{2}$-vt2）=$\frac{v}{2}{t}_{1}$-$\frac{v′-v}{2}{t}_{2}$=$\frac{16}{2}×8$-$\frac{17-16}{2}×16.5$=55.75m
因此物体在运输带上留下的划痕长度为：L=△x=55.75m
物体与传送带的相对路程为：△S=（vt1-$\frac{v}{2}{t}_{1}$）+（$\frac{v+v′}{2}{t}_{2}$-vt2）=$\frac{v}{2}{t}_{1}$+$\frac{v′-v}{2}{t}_{2}$=$\frac{16}{2}×8$+$\frac{17-16}{2}×16.5$=72.25m
故小物体与运输带间产生的内能为：Q=μmgcos30°△S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×72.25J=541.875J
答：（1）小物体与运输带间的动摩擦因数是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）小物体在运输带上留下的划痕长度是55.75m，小物体与运输带间产生的内能是541.875J．

点评 解决本题的关键要准确分析出物体的运动情况，读懂图象的斜率等于合力，要注意物体在传送带有相对运动，要根据相对路程求内能．

练习册系列答案
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