Question

12．如图所示，在第二象限内有水平向右的匀强电场．电场强度为E，在第一、第四象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等，有一个带电粒子以初速度v₀垂直于x轴，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入下面的磁场，已知OP之间的距离为d，则带电粒子
（1）在电场中运动的时间；
（2）在磁场中做圆周运动的半径；
（3）自进入磁场至第二次经过x轴所用时间；
（4）自进入电场至磁场中第二次经过x轴的时间．

Answer 1

分析 1、根据题意作出粒子的运动轨迹，粒子进入电场后做类平抛运动，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好与y轴成45°角射出电场，求出末速度，以及沿y轴运动的位移，根据粒子在沿y轴方向做匀速运动，可以求出在电场中运动的时间；
2、在图中画出半径，根据几何关系求出半径；
3、先求出粒子在磁场中运动的轨迹的长度，时间等于弧长除以速度即可求解；
4、AC求出的时间之和即为自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间．

解答 解：（1）根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示：

粒子进入电场后做类平抛运动，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好与y轴成45°角射出电场，
所以v=$\frac{{v}_{0}}{sin45°}=\sqrt{2}{v}_{0}$
v_y=v₀tan45°=v₀
沿x轴方向有：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
所以$\frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{1}{2}•\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{1}{2}$
则：OA=2OP=2d
在垂直电场方向做匀速运动，所以在电场中运动的时间为：t₁=$\frac{2d}{{v}_{0}}$；
（2）如图，AO₁为在磁场中运动的轨道半径，根据几何关系可知：
AO₁=$\frac{AO}{sin45°}=2\sqrt{2}d$；
（3）粒子从A点进入磁场，先在第一象限运动$\frac{135°}{360°}=\frac{3}{8}$个圆周而进入第四象限，后经过半个圆周，第二次经过x轴，所以自进入磁场至第二次经过x轴所用时间为t₂=$\frac{（\frac{3}{8}+\frac{1}{2}）•2πr}{v}$=$\frac{7πd}{2{v}_{0}}$；
（4）自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为t=t₁+t₂=$\frac{2d}{{v}_{0}}+\frac{7πd}{2{v}_{0}}$．
答：（1）在电场中运动的时间是$\frac{2d}{{v}_{0}}$；
（2）在磁场中做圆周运动的半径是$2\sqrt{2}d$；
（3）自进入磁场至第二次经过x轴所用时间是$\frac{7πd}{2{v}_{0}}$；
（4）自进入电场至磁场中第二次经过x轴的时间是$\frac{2d}{{v}_{0}}+\frac{7πd}{2{v}_{0}}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在电场中偏转做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，难度适中．