Question

16．如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圆弧轨道BCD组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且左端与粗糙水平台等高．水平台与物块P间的滑动摩擦因数为μ=0.2，水平台上有一弹簧，弹簧左端固定，弹簧右端与一个质量为m1=5kg的小物块接触但不固定，此时弹簧处于压缩状态并锁定，弹簧的弹性势能EP=100J．现解除弹簧的锁定，小物块P从M点出发，MN间的距离为d=lm．物块P到N点后与静止在小车左端的质量为m2=lkg的小物块Q（可视为质点）发生弹性碰撞（碰后立即将小物块P取走，使之不影响后续物体的运动）．已知AB长为L=10m，小车的质量为M=3kg．取重力加速度g=10m/s²，

（1）求碰撞后瞬间物块Q的速度大小，
（2）若物块Q在半圆弧轨道BCD上经过一次往返运动（运动过程中物块始终不脱离轨道），最终停在小车水平部分AB的中点，求半圆弧轨道BCD的半径至少多大？
（3）若小车上表面AB和半圆弧轨道BCD面均光滑，半圆弧轨道BCD的半径为R=1.2m，物块Q可以从半圆弧轨道BCD的最高点D飞出，求其再次落回小车时，落点与B点的距离S为多少？（结果可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒求出物块P被弹簧弹开后的速度，物块P、Q发生弹性碰撞，结合动量守恒和机械能守恒求出碰撞后瞬间物块Q的速度大小．
（2）物块Q和小车组成的系统在水平方向上动量守恒，结合动量守恒定律求出共同的速度，根据能量守恒求出物块Q与小车间的动摩擦因数大小，对物块Q到达圆弧的最高点过程，运用能量守恒求出半径的临界值．
（3）根据动量守恒能量守恒求出Q通过D点时，Q的速度和哀愁的速度，结合平抛运动的规律，抓住物块相对D点的速度，求出落点与B点的距离．

解答 解：（1）物块P被弹簧弹开运动到N点速度为v₁，由能量守恒得：
${E}_{p}=μmgd+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入数据解得v₁=6m/s．
物块P、Q发生弹性碰撞，碰后P、Q的速度为v₁'、v₂，规定向右为正方向，
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
代入数据解得：v₁'=4m/s，v₂=10 m/s或v₁'=6m/s，v₂=0 （舍）．
（2）物块Q从开始运动到与小车相对静止过程，共同速度为v₃，系统动量守恒，规定向右为正方向，有：
m₂v₂=（m₂+M）v₃，
代入数据解得：v₃=2.5m/s，
系统能量守恒：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=μ{m}_{2}g•\frac{3}{2}L+\frac{1}{2}（{m}_{2}+M）{{v}_{3}}^{2}$，
代入数据解得：μ=0.25．
Q至C点与车共速时，半径R最小，系统能量守恒，有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=μ{m}_{2}gL+{m}_{2}gR$$+\frac{1}{2}（{m}_{2}+M）{{v}_{3}}^{2}$，
代入数据解得：R=1.25m．
（3）设Q通过D点时，Q与小车的速度分别为v₄、v₅系统动量、能量守恒，规定向右为正方向，
m₂v₂=m₂v₄+Mv₅，
$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{4}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{5}}^{2}+$m₂g•2R
解得：v₄=-2m/s，v₅=4 m/s或v₄=7m/s，v₅=1 m/s（舍）
物块Q通过D点时相对小车的速度为：v₄′=6 m/s，
物块Q再次落回小车时与物块的距离为：s=${v}_{4}′\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
代入数据解得：s=$\sqrt{\frac{12\sqrt{3}}{5}}m$．
答：（1）碰撞后瞬间物块Q的速度大小为10m/s．
（2）半圆弧轨道BCD的半径至少为1.25m．
（3）落点与B点的距离S为$\sqrt{\frac{12\sqrt{3}}{5}}m$．

点评 本题考查了动量守恒、能量守恒的综合运用，涉及到圆周运动、平抛运动的知识，知道弹性碰撞的过程中，动量守恒、机械能守恒，对于第二问，要抓住临界情况，即到达圆弧最高点两者具有相同速度，结合能量守恒进行求解．