Question

14．一位同学学完万有引力定律及应用后，为宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处自由释放一物体，测出该物体从释放到落地的时间为t，通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）月球的质量M；
（3）飞船靠近月球表面做匀速圆周运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的知识求出月球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出月球的质量．
（3）以宇宙飞船将贴着月球的表面运行，由重力充当向心，可求周期．

解答 解：（1）由自由落体规律得：h=$\frac{1}{2}$g′t²，解得：g′=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）由月球表面物体的重力等于万有引力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′，解得：M=$\frac{{g}^{′}{R}^{2}}{G}$，
代入重力加速度解得：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）由重力充当向心力：mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，
解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$．
代入重力加速度得：T=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的质量为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（3）飞船靠近月球表面做匀速圆周运动的周期为πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$．

点评 解决本题的关键掌握天体运动中万有引力等于重力，以及万有引力提供做卫星做圆周运动的向心力．g是地球表面物体宏观运动和天体运动的桥梁．
注意飞船将贴着月球的表面运行，意味着轨道半径等于月球的半径．