题目内容
16．
如图所示的平面直角坐标系中：a、b、c三点的坐标分别为a（L，0）、b（0，-L）、c（-L，0），△abc区域内（含边界）存在方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，△abc外，且y≤0的区域内存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场，两磁场区域的磁感应强度大小相等；在y＞0的区域内还存在一个磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面的矩形匀强磁场区域（图中未画出），矩形底边平行于x轴、对角线的交点在y轴上．现有两个可视为质点，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子同时从a点射出，粒子甲的初速度方向与x轴负方向成45°角，粒子乙的初速度方向沿x轴负方向，当乙由a经b到达c点时，刚好与甲相遇，相遇时甲的速度方向也与x轴负方向成45°角．若已知粒子甲在第1象限做直线运动的时间等于它在矩形区域内的运动时间，空间为真空，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略粒子运动对电、磁场产生的影响．（1）指出矩形区域内磁场的方向，求甲在矩形区域内运行的时间t及甲的速率v甲；
（2）求乙的速率v乙和y≤0区域内的磁感应强度大小B′满足的条件．
分析 这是一道复杂的磁场区域的带电粒子的运动综合，三个磁场区域、两个粒子从不同方向沿不同的运动路径最后达到同一点．要考虑很多对称性与多解性．
（1）根据题意粒子从a到c经历三个阶段，由左手定则就能判断矩形磁场区域内的方向；又由于题中给出了粒子甲在第1象限做直线运动的时间等于它在矩形区域内的运动时间，由几何关系和此条件就能求出甲在矩形区域内运行的时间t及甲的速率．
（1）乙粒子在两种磁场中做匀速圆周运动的情况比较复杂，从a点出发先后在三角形内外做匀速圆周运动，最后又要达到c点，由几何关系求出半径与L的关系．别处要从两个方面进行考虑：①若从a到b是奇数次，则总弧长为s1=n×2πR′=2πL，从而能求出此种情况乙粒子的速度；②若从a到b是偶数次，则总弧长${s}_{2}=\frac{n}{2}×2πR′=πL$
由题中已知的时间求出这种情况下粒子乙的速度，再由半径公式求出磁感应强度．
解答 解：（1）甲在矩形区域外做匀速直线运动，在矩形区域内做匀速圆周运动，根题意作出其运动轨迹如图所示，
由左手定则可得磁场方向为垂直于xoy平面向里
在磁场中，甲偏转的角度为90°
由牛顿第二定律定律有：$q{v}_{甲}B=\frac{m{{v}_{甲}}^{2}}{R}$ 
可得半径：$R=\frac{m{v}_{甲}}{qB}$，周期：$T=\frac{2πm}{qB}$
运动时间：$t=\frac{90°}{360°}T=\frac{πm}{2qB}$
由几何关系可得甲在第Ⅰ象限做直线运动的位移为：$x=\frac{L}{cos45°}-Rtan45°$
在第Ⅰ象限做直线运动的时间：$t=\frac{x}{{v}_{甲}}$
联立解得：v甲=$\frac{2\sqrt{2}qBL}{（2+π）m}$
（2）根据题意，甲由a到c经历的时间为${t}_{甲}=3t=\frac{3πm}{2qB}$
设乙在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R′
由牛顿第二定律有：$q{v}_{乙}B=\frac{m{{v}_{乙}}^{2}}{R′}$
根据运动的对称性，乙由a经b到达c的运动轨迹如图所示，其中x′是每段圆弧轨迹对应的弦长，设n为由a至b对应的圆弧段数
$\sqrt{2}L=nx′$
由几何关系有：$\sqrt{2}R′=x′$
联立以上两式得：$R′=\frac{L}{n}$
①当n为偶数时，所有弧长的总长为s1=n×2πR′=2πL
${v}_{乙}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{总}}=\frac{4qBL}{3m}$
$B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{4}{3}nB$ （n=1、3、5…）
②当n为偶数时，所有弧长的总长为${s}_{2}=\frac{n}{2}×2πR′=πL$
${v}_{乙}=\frac{{s}_{2}}{{t}_{总}}=\frac{2qBL}{3m}$
$B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{2}{3}nB$ （n=2、4、6…）
答：（1）矩形区域内磁场的方向为垂直纸面向里，甲在矩形区域内运行的时间t及甲的速率为$\frac{2\sqrt{2}qBL}{（2+π）m}$．
（2）乙的速率为${v}_{乙}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{总}}=\frac{4qBL}{3m}$ 但$B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{4}{3}nB$ （n=1、3、5…） 或者${v}_{乙}=\frac{{s}_{2}}{{t}_{总}}=\frac{2qBL}{3m}$ 但$B′=\frac{m{v}_{乙}}{qR′}=\frac{2}{3}nB$ （n=2、4、6…）．
点评 此题的靓点在于第三问：由于甲乙两粒子从a到c的时间相等，所以只要求出乙的总路程，就可以求出乙粒子的速度，再由半径公式求出磁感应强度的大小．而乙粒子的运动情况比较复杂但很具有对称性，要分奇数和偶数两种情况考虑．
如图，两平行的足够大带电金属板水平放置，内有匀强电场．若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态．现将两板绕过a点的轴（垂直于纸面）顺时针旋转60°，再由a点从静止释放该微粒，该微粒将（ ）| A． | 做直线运动，且与上金属板相遇 | B． | 做直线运动，且与下金属板相遇 | ||
| C． | 做曲线运动，且与上金属板相遇 | D． | 做曲线运动，且与下金属板相遇 |
如图，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，导轨左端接有耐压足够的电容器C，匀强磁场B垂直导轨平面，有一导体棒垂直导轨和磁场放置，可紧贴导轨自由滑动，导体棒和导轨电阻忽略不计．现导体棒由静止释放，电容器两端电压为U，导体棒加速度为a、通过的电流为i、重力功率为P，则下列图象能正确反映各量随时间变化规律的是：（ ）
如图甲所示，自耦理想变压器输入端a、b接入图乙所示的交流电，一个理想二极管（正向电阻为零，反向电阻无穷大）和两个阻值均为R=40Ω的负载电阻接到副线圈的两端．当滑片位于原线圈中点位置时，开关S处于断开状态，下列说法正确的是（图中电表均为理想交流电表）（ ）| A． | t=0.01s对，电压表示数为零 | B． | t=0.015 s时，电流表示数为11A | ||
| C． | 闭合开关S后，电压表示数增大 | D． | 闭合开关S后，电流表示数为l6.5 A |
如图所示，竖直放置的U形管的横截面积均为S，内装密度为ρ的液体，ρg=0.1atm/m．右侧管与大气连通且足够长，且管内有一质量为m的活塞搁在固定卡口上，卡口位置与右管上端等高．开始时，左、右管内液面高度相等，两管内空气柱长度均为l0=1.0m，压强均为大气压强p0=1atm．现使两边气体升高相同的温度，平衡时左侧管内液面下降h=0.1m，此时右侧管内气体长度为1.12m．（已知：mg/S=0.01atm）| A． | 小钢球在空中做平抛运动的过程 | B． | 人乘电梯加速上升的过程 | ||
| C． | 木箱沿斜面匀速向下滑行的过程 | D． | 跳伞运动员在空中匀速下落的过程 |
如图甲所示的电路中，理想变压器原、副线圈匝数比为10：1，A、V均为理想电表，R、L和D分别是光敏电阻（其阻值随光强增大而减小）、理想线圈和灯泡．原线圈接入如图乙所示的正弦交流电压u，下列说法正确的是（ ）| A． | 电压u的频率为100 Hz | B． | V的示数为22$\sqrt{2}$V | ||
| C． | 有光照射R时，A的示数变大 | D． | 抽出L中的铁芯，D变暗 |