Question

9．太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则下列说法不正确的是（　　）

• A． 直线三星系统中甲星和丙星的角速度相同
• B． 此三星系统的运动周期为T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5GM}}$
• C． 三角形三星系统中星体间的距离为L=$\root{3}{{\frac{12}{5}}}$R
• D． 三角形三星系统的线速度大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{5GM}{R}}$

Answer 1

分析 明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，结合牛顿第二定律列式分析

解答 解：A、直线三星系统中甲星和丙星绕着乙星做匀速圆周运动，由于质量都相等，甲星和丙星所受万有引力的合力相等，根据$F=M{ω}_{\;}^{2}R$知故直线三星系统中甲星和丙星的角速度相同，故A正确；
B、三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力．
$G\frac{{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{M}_{\;}^{2}}{（2R）_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得：$v=\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$，$T=\frac{2πR}{v}=4πR\sqrt{\frac{R}{5GM}}$，故B正确
C、另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，由万有引力定律和牛顿第二定律得$2G\frac{{M}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}cos30°=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}$
由于两种系统的运动周期相同，即$T=4πR\sqrt{\frac{R}{5GM}}$，故解得：$L=\root{3}{\frac{12}{5}}R$，故C正确；

D、根据$v=\frac{2πR}{T}=\frac{2π}{T}（\frac{L}{2cos30°}）=\root{3}{\frac{12}{5}}•\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5GM}{R}}$，故D错误
本题选错误的，故选：D

点评 万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．