Question

19．如图所示，磁感应强度为B的条形匀强磁场区域的宽度都是d₁，水平方向无限长，相邻磁场区域的间距均为d₂，x轴的正上方有一电场强度为E、方向与x轴和磁场均垂直的匀强电场区域．现将一质量为m、电荷量为+q的粒子（重力不计）从x轴正上方高h处自由释放．

（1）求粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径r．
（2）若粒子只经过第1个和第2个磁场区域回到x轴，求粒子从释放到回到x轴所需要的时间t．
（3）若粒子以初速度V₀从高为h处沿x轴正方向水平射出后，最远到达第k个磁场区域并回到x轴，则d₁应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入磁场的速度，根据洛伦兹力提供向心力求出轨道半径的大小．
（2）根据牛顿第二定律结合运动学公式求出在电场中的运动时间，粒子在磁场区域运动合成半圆弧，根据周期公式求出在磁场中运动的时间，根据几何关系求出在无磁场区域运行的位移，结合运动学公式求出在无磁场区域运行的时间，从而得出总时间．
（3）粒子以初速度v₀从h处沿x轴正方向水平射出后，最远到达第k个磁场区域并回到x轴．则粒子在磁场区域的运动由2k-1个圆弧组成，并且2k-1个圆弧合并为一段圆弧．结合几何关系以及粒子在磁场中运动的半径公式求出d_l、d₂应该满足的条件．

解答 解答：解：（1）设粒子刚进入磁场时的速度为v
在电场区域中根据动能定理  qEh=$\frac{1}{2}$mv²--①
磁场区域中，圆周运动 qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$-------②
解得 R=$\sqrt{\frac{2mEh}{q{B}^{2}}}$-------------------③
（2）设粒子在电场中的运动时间为t₁，
根据牛顿第二定律 ma=qE
匀加速运动 $\frac{1}{2}$at₁²=h    
解得${t}_{1}=\sqrt{\frac{2mh}{qE}}$---------④
粒子在磁场区域运动合成半圆弧，时间为：${t}_{2}=\frac{πm}{qB}$---⑤
设粒子离开第一个无磁场区域时，速度的水平夹角为α，有
sinα=$\sqrt{\frac{{r}^{2}-{d}_{1}^{2}}{t}}$
粒子在无磁场区域运动的路程为s=$\frac{2{d}_{2}}{sinα}$
粒子在无磁场区域运动时间为${t}_{3}=\frac{s}{v}$---------------⑥
解得的总时间为：
t=t₁+t₂+t₃=$\sqrt{\frac{2mh}{qE}}+\frac{πm}{qB}+\frac{2m{d}_{2}}{\sqrt{2mqEh-（qB{d}_{1}）^{2}}}$---------------⑦
（3）粒子经过第k个磁场区域回到x轴，则粒子在磁场区域的运动由2k-1个圆弧组成，并且2k-1个圆弧合并为一段圆弧．粒子进入第一个磁场时，速度为v，与水平方向夹角为α
v_∥=v₀；${v}_{⊥}=\sqrt{\frac{2qEh}{m}}$；cosα=$\frac{{v}_{∥}}{v}$---------------⑧
有几何关系知，应满足条件（k-1）d₁＜r（1-cosα）＜kd₁---------------⑨
解得：$\frac{m}{qBk}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）＜{d}_{1}＜\frac{m}{qB（k-1）}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）$-----------⑩
粒子回到x轴的条件与d₂无关．
答：（1）粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径是$\sqrt{\frac{2mEh}{q{B}^{2}}}$．
（2）自释放到回到x轴所需要的时间为$\sqrt{\frac{2mh}{qE}}+\frac{πm}{qB}+\frac{2m{d}_{2}}{\sqrt{2mqEh-{（qB{d}_{1}）}^{2}}}$．
（3）d₁应该满足$\frac{m}{qBk}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）＜{d}_{1}＜\frac{m}{qB（k-1）}（\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEh}{m}}-{v}_{0}）$，粒子回到x轴的条件与d₂无关．

点评 本题考查了粒子在电场和磁场中的运动，关键理清粒子的运动规律，结合几何关系，运用牛顿第二定律、动能定理以及运动学公式进行求解．