Question

13．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为R的光滑圆环顶点P，另一端连接一套在圆环上且质量为m的小球．开始时小球位于A点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点B时的速率为v，此时小球与圆环之间的压力恰好为零，已知重力加速度为g．下列分析正确的是（　　）

• A． 轻质弹簧的原长为R
• B． 小球过B点时，所受的弹力为mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$
• C． 小球从A到B的过程中，重力势能转化为弹簧的弹性势能
• D． 小球运动到B点时，弹簧的弹性势能为mgR-$\frac{1}{2}$mv²

Answer 1

分析 根据几何关系求弹簧的原长．小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出弹簧的弹力．从A运动到B的过程中，小球的机械能减小．小球受到弹簧的弹力做负功，重力做正功，根据功能关系分析能量是如何转化的．

解答 解：A、由题意知，小球位于A点时弹簧处于原长，由几何知识可知弹簧的原长为$\sqrt{2}$R，故A错误；
B、小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力，根据向心力公式：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，则得弹簧的弹力F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故B正确；
C、以小球和弹簧组成的系统为研究对象，在小球从A到B的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，小球重力势能减小转化为弹簧的弹性势能和小球的动能．故C错误．
D、根据能量的转化与守恒：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+E_P 得弹簧的弹性势能为：E_P=mgR-$\frac{1}{2}$mv²，故D正确；
故选：BD

点评 此题中小球的机械能不守恒，可以从能量转化的角度进行分析．小球过B点时，弹簧的弹力不是合力，不能得到这样的表达式：F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$．