题目内容
10．
如图所示，在xOy平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线OA，OA与x轴正方向的夹角为30°，OA与y轴正半轴所夹区域存在y轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场．有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的P点沿着x轴正方向以大小为v0的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于OA方向经过Q点进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场．已知OP=h，不计粒子的重力．（1）求粒子垂直射线OA经过Q点的速度；
（2）求匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值；
（3）粒子从M点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂直OA进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从y轴正方向上某点垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OA方向进入磁场…，求粒子从P点运动到O点所用的时间．
分析 （1）由类平抛运动的规律可求得经过Q点速度；
（2）由电场中的类平抛和磁场中的圆周运动可解得电场与磁场强度的比值；
（3）求出第一次离子在电场和磁场中的运动时间，以此类推求出第二次、第三次的运动时间，然后根据数学知识求和即可．
解答 解：（1）设垂直OA到达Q点的速度为vQ，将速度分解为水平方向的v0和竖直方向的vy，如图所示，
则：vy=$\frac{{v}_{0}}{tan30°}$=$\sqrt{3}{v}_{0}$，vQ=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$=2v0；
（2）做出粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何知识可得出原点O即为轨迹圆的圆心，OQ为轨迹圆的半径，设为R．
在电场中的运动，由类平抛的知识可得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$=v0t1，vy=$\sqrt{3}{v}_{0}=\frac{qE}{m}{t}_{1}$，
可求得E=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qR}$
在磁场中的运动，由圆周运动的知识可得：2qv0B=$\frac{m（2{v}_{0}）^{2}}{R}$，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$
所以$\frac{E}{B}$=v0；
（3）设粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径为R1，在电场中运动的时间为t11，在磁场中运动的时间为t12，在电场、磁场中运动的总时间为t1，则有
t11=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}{R}_{1}}{2{v}_{0}}$，t12=$\frac{5}{6}×\frac{2π{R}_{1}}{2{v}_{0}}$=$\frac{5π{R}_{1}}{6{v}_{0}}$，
所以t1=t11+t12=$\frac{\sqrt{3}{R}_{1}}{2{v}_{0}}$+$\frac{5π{R}_{1}}{6{v}_{0}}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5π}{6}）\frac{{R}_{1}}{{v}_{0}}$
又由h-$\frac{{R}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{2}×{t}_{11}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{2}×\frac{\sqrt{3}{R}_{1}}{2{v}_{0}}$=$\frac{3}{4}{R}_{1}$
解得，R1=$\frac{4}{5}h$
从而有${t}_{1}=（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5π}{6}）\frac{{R}_{1}}{{v}_{0}}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5π}{6}）\frac{4h}{{5v}_{0}}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{2π}{3}）\frac{h}{{v}_{0}}$
由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，又设粒子第二次在磁场中做圆周运动的半径为R2，在电场中运动的时间为t21，在磁场中运动的时间为t22，在电场、磁场中运动的总时间为t2，类似上面的求解，有
t21=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{2}}{{2v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}{R}_{2}}{4{v}_{0}}$，t22=$\frac{5}{6}×\frac{2π{R}_{2}}{4{v}_{0}}$=$\frac{5π{R}_{2}}{12{v}_{0}}$
所以t2=t21+t22=$（\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{5π}{12}）\frac{{R}_{2}}{{v}_{0}}$
又由R2=$\frac{4}{5}{R}_{1}$，将此结果代入上式可得：
t2=$\frac{4}{5}×（\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{5π}{12}）\frac{{R}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{4}{5}{t}_{1}$
…类推可知，粒子第n次在电场、磁场中运动的总时间：
tn=$\frac{{t}_{1}}{1-\frac{2}{5}}$=$\frac{5}{3}{t}_{1}$=$\frac{5}{3}×（\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{2π}{3}）\frac{h}{{v}_{0}}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{9}）\frac{h}{{v}_{0}}$．
答：（1）粒子垂直射线OA经过Q点的速度为2v0；
（2）匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值为v0；
（3）粒子从P点开始经$（\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{9}）\frac{h}{{v}_{0}}$能够运动到O点．
点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间；对于带电粒子在电场中运动时，一般是按类平抛运动的知识进行解答．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
| A． | 当两个分子间相互作用表现为引力时，分子间没有斥力 | |
| B． | 两个分子间距离减小，分子间的引力和斥力都增大 | |
| C． | 两个分子从相距很远处到逐渐靠近的过程中，分子间的相互作用力逐渐变大 | |
| D． | 将体积相同的水和酒精混在一起，发现总体积小于混合前水和酒精的体积之和，说明分子间存在引力 |
如图所示，B、C、D、E、F五个球并排放置在光滑的水平面上，B、C、D、E四球质量相等，而F球质量小于B球质量，A球的质量等于F球质量，A球以速度v0向B球运动，所发生的碰撞均为弹性碰撞，则碰撞之后（ ）| A． | 五个小球静止，一个小球运动 | B． | 四个小球静止，两个小球运动 | ||
| C． | 三个小球静止，三个小球运动 | D． | 六个小球都运动 |
如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为$\frac{B}{2}$的匀强磁场．一带负电的粒子从原点O以与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在x轴上方运动的半径为R．不计重力，则（ ）| A． | 粒子经偏转一定能回到原点O | |
| B． | 粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1：2 | |
| C． | 粒子完成一次周期性运动的时间为$\frac{πm}{3qB}$ | |
| D． | 粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进3R |
| A． | “轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍 | |
| B． | “轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的5倍 | |
| C． | 站在赤道上的人可观察到“轨道康复者”向东运动 | |
| D． | “轨道康复者”可在高轨道上加速，以实现对低轨道上卫星的拯救 |
| A． | 汽车在水平面上匀速运动 | |
| B． | 羽毛球比赛中在空中运动的羽毛球 | |
| C． | 拉着物体沿光滑斜面匀速上升 | |
| D． | 如图所示，在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来 |