Question

5．如图甲所示，在直角坐标系x≤0的区域存在磁感应强度大小为2B₀的匀强磁场，在x＞0的区域存在磁感应强度B随时间t按图乙变化的匀强磁场，两磁场方向均垂直纸面向里．在t=0时刻有一质量为m、带电量为+q带电粒子以大小为v₀的初速度沿x轴正方向从O点进入磁场，不计粒子重力．
（1）求带电粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时间内运动的轨迹半径和周期；
（2）试在图甲中画出0～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时间内粒子的轨迹，并求出t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻粒子的位置坐标及速度方向；
（3）若在t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻撤去x＞0区域的磁场，同时在该区域加一个沿y轴正方向的匀强电场，请通过计算判断粒子再次进入电场前能否回到O点．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力通过向心力求解半径，根据周期公式求解周期；
（2）分析粒子的运动情况，根据运动情况画出运动轨迹，根据几何关系求解坐标；
（3）求解粒子再次进电场前在Y轴上的侧移量，根据侧移量判断粒子再次进入电场前能否回到O点．

解答 解：（1）带电粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时间内，由qv₀（2B₀）=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$；
根据周期公式T₁=$\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{0}}$可得：T₁=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（2）当B=B₀时 r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$=2r₁，T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2T₁；
0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₁为半径一个圆周，$\frac{πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₂为半径半个圆周，$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$的运动以r₁为半径一个圆周，$\frac{3πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$的运动以r1为半径半个圆周，$\frac{7πm}{2q{B}_{0}}$～$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$的运动以r2为半径$\frac{1}{4}$圆周，$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$的运动以r1为半径$\frac{1}{4}$圆周，轨迹如下图所示．

故坐标为（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向．
（3）如下图，设粒子进左侧磁场时速度与+Y成θ角，则再次进电场前在Y轴上的侧移量为△Y=2rsinθ


而 r=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
得△Y=$\frac{mvsinθ}{q{B}_{0}}$=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$＜$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$
故不可能回到O点．
答：（1）带电粒子在0～$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时间内运动的轨迹半径为$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，周期为$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（2）0～$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时间内粒子的轨迹见解析，t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻粒子的位置坐标为（$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$，$\frac{5m{v}_{0}}{2q{B}_{0}}$），速度方向沿-X方向．
（3）若在t=$\frac{17πm}{4q{B}_{0}}$时刻撤去x＞0区域的磁场，同时在该区域加一个沿y轴正方向的匀强电场，粒子再次进入电场前不能回到O点．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间；对于带电粒子在电场中运动时，一般是按类平抛运动的知识进行解答．