Question

6．赤道上空有一颗同步卫星．求
（1）卫星离地面的高度和进入轨道的线速度；
（2）卫星的向心加速度；
（3）如果卫星轨道过高或过低能否同步？为什么？
（假设卫星轨道为圆，M_地=5.98×10²⁴kg，R_赤=6378km，T_自转=86400s）

Answer 1

分析 （1）（2）同步卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，根据万有引力提供圆周运动向心力展开讨论即可求出．
（3）由万有引力提供向心力的 表达式分析即可；

解答 解：（1）同步卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$
所以地球同步卫星距地面的高度为：
h=$\root{3}{\frac{GM}{4{π}^{2}}{T}^{2}}$-R=$\root{3}{\frac{5.98×1{0}^{24}×6.67×1{0}^{-11}}{4×3.1{4}^{2}}{×（86400）}^{2}}-6378×1{0}^{3}m$=3.59×10⁷m
根据线速度与周期的关系有：$v=\frac{2π（R+h）}{T}=\frac{2×3.14×（6.4×1{0}^{6}+3.59×1{0}^{7}）}{24×3600}$m/s=3.08×10³m/s
（2）向心加速度为：a=$G\frac{M}{{（R+h）}^{2}}$=$\frac{6.67×1{0}^{-11}×5.98×1{0}^{24}}{（6378×1{0}^{7}+3.59×1{0}^{7}）^{2}}=0.224m/{s}^{2}$
 （3）当卫星离地高度增大时，根据$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$可知周期增大；高度减小时，周期减小，不能与地球同步．
答：（1）同步卫星距地面的高度为3.59×10⁷m，线速度是3.08×10³m/s．
（2）向心加速度是0.224m/s²；
 （3）当卫星离地高度增大时，周期增大；高度减小时，周期减小，不能与地球同步．

点评 本题抓住同步卫星的向心力由万有引力提供，周期与地球自转周期相同，掌握相关公式并能灵活变形是解决问题的关键．