Question

14．如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2t，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场．A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为q（q＞0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板l处有一固定档板，长为l的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触 Q开始，经历时间T₀第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回．由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的$\frac{1}{k}$（k＞1）．求：
（1）小球第一次接触Q时的速度大小；
（2）假设小球第n次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触 Q，到本次向右运动至最远处的时间T₀的表达式；
（3）假设小球被第N次弹回两板间后向右运动最远处恰好到达B板，求N为多少．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出加速度，结合速度位移公式求出小球第一次接触Q时的速度大小．
（2）小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间包括两部分，一部分是小球从接触Q开始，经历时间To第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回，另一部分是离开Q向右做减速运动的过程．根据运动学公式进行求解．
（3）根据动能定理得出电量q的表达式，抓住小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的$\frac{1}{k}$，求出N．

解答 解：（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a．
根据牛顿第二定律有：qE=ma 
对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有：v²=2al
联立解得：v=$\sqrt{\frac{2qEl}{m}}$．
（2）小球每次离开Q的瞬时速度大小相同，且等于小球第一次与Q接触时速度大小．
设小球第1次离开Q向右做减速运动的加速度为a₁，速度由v减为零所需时间为t₁，小球离开Q所带电荷量为q₁．
根据牛顿第二定律有：q₁E=ma₁
根据运动学公式有：${t}_{1}\\;=\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{v}{{a}_{1}}$，
根据题意可知小球第1次离开Q所带电荷量为：${q}_{1}=\frac{q}{k}$，
联立解得：${t}_{1}=\frac{mv}{qE}k$．
设小球第2次离开Q向右做减速运动的加速度为a₂，速度由v减为零所需时间为t₂，小球离开Q所带电荷量为q₂．
同理q₂E=ma₂，${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}$，${q}_{2}=\frac{q}{{k}^{2}}$，
联立解得：${t}_{2}=\frac{mv}{qE}{k}^{2}$，
设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为a_n，速度由v减为零所需时间为t_n，小球离开Q所带电荷量为q_n．
同理有：q_nE=ma_n，${t}_{n}=\frac{v}{{a}_{n}}$，q_n=$\frac{q}{{k}^{n}}$．
联立解得：${t}_{n}=\frac{mv}{qE}{k}^{n}$，
小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间为：${T}_{n}=2{T}_{0}+\sqrt{\frac{2ml}{qE}}{k}^{n}$．
（3）设小球第N次离开Q，向右运动的最远处恰好在B板处，这个过程中小球的加速度为a_N，小球第N次离开Q所带电荷量为q_N．
对于小球第N次接触Q前，小球从P位置到与Q接触的过程中，
根据动能定理有：qEl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
对于小球第N次离开Q，向右运动至B板处的过程中，根据动能定理有：q_NE•2l=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根据上式有${q}^{N}=\frac{q}{2}$，又${q}^{N}=\frac{q}{{k}^{N}}$，所以k^N=2 
解得：N=log _k2
答：（1）小球第一次接触Q时的速度大小为$\sqrt{\frac{2qEl}{m}}$．
（2）T₀的表达式为${T}_{n}=2{T}_{0}+\sqrt{\frac{2ml}{qE}}{k}^{n}$．
（3）N为log _k2．

点评 了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．要注意小球运动过程中各个物理量的变化．