Question

19．如图为固定在竖直平面内的轨道，直轨道AB与光滑圆弧轨道BC相切，圆弧轨道的圆心角为37°，半径为r=0.25m，C端水平，AB段的动摩擦因数为0.5．竖直墙壁CD高H=0.2m，紧靠墙壁在地面上固定一个和CD等高，底边长L=0.3m的斜面．一个质量m=0.1kg的小物块（视为质点）在倾斜轨道上从距离B点l=0.5m处由静止释放，从C点水平抛出．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小物块运动到C点时对轨道的压力的大小；
（2）小物块从C点抛出到击中斜面的时间；
（3）改变小物体从轨道上释放的初位置，求小物体击中斜面时动能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物块从A到C的过程，由动能定理求出C点的速度．在C点，由牛顿第二定律求轨道对小物块的支持力，再由牛顿第三定律得到小物块对轨道的压力．
（2）小物块离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何关系列式，联立求解平抛运动的时间．
（3）根据数学知识得到小物体击中斜面时动能与释放的初位置坐标的关系式，由数学知识求解动能的最小值．

解答 解：（1）小物块从A到C的过程，由动能定理得：$mglsin{37°}+mg（r-rcos{37°}）-μmglcos{37°}=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入数据解得：${v_0}=\sqrt{3}m/s$
在C点，由牛顿第二定律得：$N-mg=m\frac{v_0^2}{r}$
代入数据解得：N=2.2N
由牛顿第三定律得，小物块运动到C点时对轨道的压力的大小为2.2N．
（2）如图，设物体落到斜面上时水平位移为x，竖直位移为y，
$\frac{L-x}{y}=\frac{L}{H}$
代入得：x=0.3-1.5y
由平抛运动的规律得：
x=v₀t，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
联立得 $15{t^2}+2\sqrt{3}t-0.6=0$
代入数据解得：$t=\frac{{\sqrt{3}}}{15}s$
（3）由上知 x=0.3-1.5y
$v_0^2{t^2}=v_0^2\frac{2y}{g}={（0.3-1.5y）^2}$
可得：$v_0^2=\frac{{g{{（0.3-1.5y）}^2}}}{2y}$
小物体击中斜面时动能为：${E_k}=\frac{1}{2}m{v_0}^2+mgy=\frac{0.09}{4}mg\frac{1}{y}+\frac{25}{16}mgy-\frac{0.9}{4}$
解得：当y=0.12m，E_kmin=0.15J
答：（1）小物块运动到C点时对轨道的压力的大小是2.2N；
（2）小物块从C点抛出到击中斜面的时间是$\frac{\sqrt{3}}{15}$s；
（3）改变小物体从轨道上释放的初位置，小物体击中斜面时动能的最小值是0.15J．

点评 解决本题的关键要掌握平抛运动的研究方法和运动规律，知道小球落在斜面上时具有的几何关系，通过函数法求解动能的最小值．