Question

14．如图所示，虚线圆的半径为R，AC为光滑竖直轩，AB 与BC构成直角的L形轨道，小球与AB、BC，轨道间的动摩擦因数均为μ，ABC三点正好是圆上三点，而AC正好为该圆的直径，AB与AC的夹角为α，如果套在AC杆上的小球自A点静止释放，分别沿ABC轨道和AC直轨道运动，忽略小球滑过B处时能量损耗．求：
（1）小球在AB轨道上运动的加速度；
（2）小球沿ABC轨道运动到达C点时的速率；
（3）若AB、BC、AC轨道均光滑，如果沿ABC轨道运动到达C点的时间与沿AC直轨道运动到达C点的时间之比为5：3，求α角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求小球在AB轨道上运动的加速度；
（2）小球沿ABC轨道运动，从A到C，由动能定理列式，可求出小球运动到达C点时的速率．
（3）小球沿AC直导轨做自由落体运动，由位移公式求得时间．ABC段，先求出B点的速度，根据AB段和AC段时间相等，得到BC段时间，依据时间关系求解．

解答 解：（1）从A到B，由牛顿第二定律得：
mgcosα-μmgsinα=ma
解得：a=gcosα-μgsinα
（2）小球沿ABC轨道运动，从A到C，由动能定理可得：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R-2μmg•2Rcosαsinα
解得：v_C=2$\sqrt{gR-μgRsin2α}$
（3）设小球沿AC直导轨做自由落体运动，运动时间为t，则有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
轨道均光滑，小球由A到B机械能守恒，设B点的速度为v_B，则有：
mg•2R•cos²α=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=2$\sqrt{gR}$cosα
且依等时圆，t_AB=t，则B到C的时间为：t_BC=$\frac{5}{3}$t-t=$\frac{2}{3}$t=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{R}{g}}$
以后沿BC直导轨运动的加速度为：a′=gsinα，
且BC=2Rsinα
故2Rsinα=v_Bt_BC+$\frac{1}{2}a′{t}_{BC}^{2}$
代入数据解得：tanα=2.4
答：（1）小球在AB轨道上运动的加速度是gcosα-μgsinα；
（2）小球沿ABC轨道运动到达C点时的速率是2$\sqrt{gR}$cosα；
（3）α角的正切值是2.4．

点评 本题的关键是能正确对ABC进行受力和运动分析，把运动的时间正确表示；可视为多过程的运动分析，一定明确前后过程的衔接物理量．