Question

9．如图所示，两个重都为G，半径都为r的光滑均匀小圆柱，靠放在半径为R（R＞2r）的弧形凹面内，处于静止状态，试求凹面对小圆柱的弹力及小圆柱相互间的弹力大小．

Answer 1

分析 两个小球置于大的弧形凹面内，根据对称性，小球静止时位于弧形凹面内的最低端且左右对称．由几何关系可以确定三个圆心与切点之间的角度关系，即求出了相应的角度．再拿其中一个球为研究对象，根据三力的平衡条件：三力的合力为零，从而求出凹面对小圆柱的弹力及小圆柱相互间的弹力大小．

解答 解：设大圆弧圆心为O₁，两小圆柱的圆心分别为O₂、O₃，连接O₂O₃，连线必定经过两圆柱的切点，设切
  点为A，连接OA，令∠O₂O₁A为θ，根据几何关系得：
   $cosθ=\frac{\sqrt{（R-r）^{2}-{r}^{2}}}{R-r}=\frac{\sqrt{（R-2r）R}}{R-r}$，$tgθ=\frac{r}{\sqrt{（R-r）R}}$．
   左边圆柱的受力如图1-42所示，根据平衡条件得：
       N₁cosθ=G        ①
        N₁sinθ=N₂       ②
   由①②得：${N}_{1}=\frac{G}{cosθ}=\frac{（R-r）G}{\sqrt{（R-2r）R}}$，${N}_{2}=\frac{rG}{\sqrt{（R-2r）R}}$．
答：凹面对小圆柱的弹力为$\frac{（R-r）G}{\sqrt{（R-2r）R}}$，小圆柱相互间的弹力大小为$\frac{rG}{\sqrt{（R-2r）R}}$．

点评 本题的难点在于找到矢量三角形的角度，根据两圆相切的性质：连心线必通过圆心，且与公切线垂直．这样三个圆心构成一个等腰三角形，就能求出某一个角，这个角在力的合成图中有等量关系，从而能求出凹面对小圆柱的弹力及小圆柱相互间的弹力大小．